Wielomiany Bernsteina

Z Wikipedii

Wielomiany Bernsteina - wielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Serge Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.

Dla funkcji $f: [0,1] \to \mathbb R$ , wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:

$E_n(f)(t) = \sum_{i=0}^n f\left(\frac{i}{n}\right) B_i^n(t)$

gdzie $B_i^n(t)$ to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:

$B^n_i(t) = {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i}$ dla $i=0\ldots n$

$B^n_i(t) = 0$ dla $i < 0$ , $i > n$

Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni. (W publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i pisze po prostu wielomiany Bernsteina).

Spis treści

1 Własności wielomianów bazowych Bernsteina
2 Aproksymacja jednostajna
3 Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych
4 Zobacz też

[edytuj] Własności wielomianów bazowych Bernsteina

[edytuj] Zależność rekurencyjna

Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:

$B_i^n(t) = (1-t) B_i^{n-1}(t) + t B_{i-1}^{n-1}(t)$

[edytuj] Rozkład jedynki

$\sum_{i=0}^n B_i^n(t) = 1$

[edytuj] Dodatniość

$B_i^n(t) \ge 0$ dla $t \in [0,1]$

[edytuj] Symetria

$B_i^n(t) = B_{n-i}^n(1-t)$

[edytuj] Iloczyn

$B_i^n(t) B_j^m(t)$ $= \frac{{n \choose i} {m \choose j}}{ {{n+m} \choose {i+j}} } B_{n+m}^{i+j}(t)$

[edytuj] Pochodna

$\frac{d}{dt} B_i^n(t) = n \left( B_{i-1}^{n-1}(t) - B_i^{n-1}(t) \right)$

[edytuj] Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia

$B_i^n(t) = \frac{n+1-i}{n+1} B_i^{n+1}(t) + \frac{i+1}{n+1} B_{i+1}^{n+1}(t)$

[edytuj] Aproksymacja jednostajna

Niech $f:[0,1] \to \mathbb R$ będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina $\langle E_n(f): n=0,1,2,\ldots \rangle$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f$ .