Wzór Herona

Z Wikipedii

Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, w którego Metryce jest podany.

Niech oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi:

[edytuj] Dowód

W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta:

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta α.

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych otrzymujemy:

p oznacza połowę obwodu trójkąta, więc:

b + c + a = 2p
a + b − c = 2p − 2c = 2(p − c)
a − b + c = 2p − 2b = 2(p − b)
b + c − a = 2p − 2a = 2(p − a)



Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.

[edytuj] Wzór Brahmagupty

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości wpisanego w okrąg:

,

gdzie

oznacza połowę obwodu czworokąta.

[edytuj] Linki zewnętrzne

• Wzór Herona (en) w encyklopedii MathWorld

To jest tylko zalążek artykułu związanego z geometrią. Jeśli możesz, rozbuduj go.