Twierdzenie cosinusów

Z Wikipedii

Twierdzenie cosinusów (inaczej wzór cosinusów, twierdzenie Carnota, uogólnione twierdzenie Pitagorasa^[1]) – twierdzenie mówiące, że w dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

Używając oznaczeń z rysunku obok

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cosγ

W szczególnym przypadku, gdy trójkąt jest prostokątny i $γ$ jest kątem prostym, twierdzenie to sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa, ponieważ cosinus kąta prostego jest równy zeru, czyli

c 2 = a 2 + b 2

Spis treści

1 Dowody twierdzenia cosinusów
2 Wzory cosinusów w geometriach nieeuklidesowych
3 Twierdzenie cosinusów dla sfery
4 Zobacz też
5 Przypisy

[edytuj] Dowody twierdzenia cosinusów

[edytuj] Dowód

Niech $a = |\overrightarrow{CB}|,\; b = |\overrightarrow{CA}|,\; c = |\overrightarrow{AB}|$ , wtedy

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}$

$|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}|^2$

$|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{CB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 - 2\overrightarrow{CB} \circ \overrightarrow{CA}$ ,

gdzie $\circ$ oznacza iloczyn skalarny. Wracając do poprzednich oznaczeń otrzymujemy

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cosγ

[edytuj] Dowód 2

Z wierzchołka przy boku c opuśćmy wysokość na bok b. Podzieli ona bok b na części $b 1, b 2$ .

Korzytając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa i z zależności $b = b 1 + b 2$ dostaniemy

$c^2=h^2+b_1^2= (a^2-b_2^2)+(b-b_2)^2=a^2+b^2-2bb_2$ .

Ponieważ:

$-2bb_2=-2ab{\frac {b_2}{a}}=-2ab cos \gamma$

więc mamy tezę.

Dowód niewiele się zmieni, jeśli spodek wysokości znajdzie "na zewnątrz" boku b.

[edytuj] Dowód 3

Lemat

Dla dowolnego trójkąta o bokach o długości: a,b,c i kątach leżących naprzeciw nim odpowiednio: $α,β,γ$ zachodzą zależności:

$a=c \cdot cos \beta + b \cdot cos \gamma$

$b=c \cdot cos \alpha + a \cdot cos \gamma$

$c=b \cdot cos \alpha + a \cdot cos \beta$

Dowód lematu

Udowodnimy np. drugą z powyższych zależności. Rzeczywiście, opuszczając wysokość na bok b dostaniemy:

$b=b_1+b_2 = c{\frac {b_1}{c}}+a{\frac{b_2}{a}} = c \cdot cos\alpha + a \cdot cos\gamma$ .

Dowód twierdzenia

Trzy udowodnione w lemacie równości mnożymy obustronnie: pierwszą przez a, drugą przez b, trzecią przez -c:

$a^2=ac \cdot cos \beta + ab \cdot cos \gamma$

$b^2=bc \cdot cos \alpha + ab \cdot cos \gamma$

$-c^2=-bc \cdot cos \alpha - ac \cdot cos \beta$

Dodając stronami dostaniemy:

$a^2+b^2-c^2 = 2ab \cdot cos \gamma$

[edytuj] Wzory cosinusów w geometriach nieeuklidesowych

Omawiane wyżej twierdzenie cosinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej czyli tzw. geometrii płaskiej. W geometriach nieeuklidesowych ma ono swoje odpowiedniki w postaci dwóch dualnych względem siebie wzorów. Ich dualność polega na tym, że jeden z nich można otrzymać z drugiego przez zamianę miary kąta na miarę dualnego (przeciwległego) boku i odwrotnie.

W geometrii eliptycznej mamy wzory:

$\cos c = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos \gamma$

$\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c$

Tutaj a,b,c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii). Może ten dowód posłużyć także do wykazania wzoru drugiego - wystarczy przeprowadzić go na trójkącie dualnym, jeśli dualność zrealizujemy dopełnienieniem ortogonalnym.

Powyższe dwa wzory obowiązują np. dla trójkątów sferycznych. Wiążą one długości boków dowolnego trójkąta sferycznego z kątami między tymi bokami. Można więc zastosować je także dla trzech półprostych o wspólnym początku umieszczonych w przestrzeni celem badania kątów między nimi i między płaszczyznami wyznaczonymi przez każde dwie z nich.

Analogicznie w geometrii hiperbolicznej, przyjąwszy tzw. metrykę naturalną dostaniemy:

$\cosh c = \cosh a \cdot \cosh b - \sinh a \cdot \sinh b \cdot \cos \gamma$

$\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cosh c$

Tutaj a,b,c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast funkcji trygonometrycznej używamy odpowiedniej funkcji hiperbolicznej. Dowód pierwszego wzoru znajdujący się w ^[2] jest przeprowadzony nie w modelu, ale bezpośrednio z aksjomatów geometrii hiperbolicznej (wewnątrz teorii).

Z ostatniego z tych wzorów można wyciągnąć ciekawy wniosek - wystarczy ten wzór zastosować do trójkąta prostokątnego z jednym wierzchołkiem w "nieskończoności" czyli spełniającego: γ=0, β=π/2. Dostaniemy wówczas zależność 1=sinα cosh c, którą można przekształcić do równoważnej postaci $\alpha = 2\cdot \operatorname{atan} ( e^{-c})$ znanej jako funkcja Łobaczewskiego.

Bardziej spójne ujęcie otrzymamy, jeśli za model geometrii hiperbolicznej przyjmiemy sferę o promieniu urojonym $i=\sqrt{-1}$ . Wtedy wzory geometrii hiperbolicznej otrzymujemy ze wzorów geometrii eliptycznej przez zamianę wszystkich długości boków $x$ na $\frac{x}{i}.$

Zauważmy jeszcze, że drugi wzór z geometrii eliptycznej i drugi z geometrii hiperbolicznej oferują coś, co jest niemożliwe w geometrii euklidesowej - pozwalają one wyliczyć długość dowolnego boku trójkąta na podstawie znajomości jedynie kątów tego trójkąta.

[edytuj] Twierdzenie cosinusów dla sfery

Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, γ jest kątem między odcinkami-bokami a,b to zachodzi wzór

$\cos c = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos \gamma$

Dowód

Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.

Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.

Kąt między dwiema prostymi sferycznymi, czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie, a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.

Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x,y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y czyli cosinusowi długości tego odcinka. Czyli

x y = cos c

x z = cos b

y z = cos a

Jeśli mamy dwa punkty na sferze, będące końcami centralnych wektorów x, y, to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako $x \times y$ . Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y czyli sinusowi długości odcinka

$|x \times y| = \sin c$

$|x \times z| = \sin b$

$|y \times z| = \sin a$

Rozważmy wyrażenie:

$(x \times z)(z \times y)$

Z jednej strony powyższy iloczyn skalarny ma wartość równą iloczynowi długości obu czynników oraz cosinusowi kąta między obu czynnikami czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach z,y. Ten ostatni kąt jest oczywiście równy γ:

$(x \times z)(y \times z) = |x\times z|\cdot |y\times z|\cdot \cos\gamma = \sin b \cdot \sin a \cdot cos \gamma$

Z drugiej strony, na mocy tożsamości Lagrange'a $(p \times q)(r\times s) = pr \cdot qs - qr \cdot ps$ dostajemy:

$(x \times z) (y \times z) = xy \cdot zz - zy \cdot xz = \cos c - \cos a \cdot \cos b$

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ We Francji twierdzenie to znane jest również jako twierdzenie al-Kashiego.
↑ Stefan Kulczycki "Geometrie nieeuklidesowe" Biblioteka Problemów PWN Warszawa 1956

Kategorie: Trójkąty • Trygonometria • Twierdzenia matematyczne

We provide Linux to the World

Twierdzenie cosinusów

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Dowody twierdzenia cosinusów

[edytuj] Dowód

[edytuj] Dowód 2

[edytuj] Dowód 3

[edytuj] Wzory cosinusów w geometriach nieeuklidesowych

[edytuj] Twierdzenie cosinusów dla sfery

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach