Wzór de Moivre'a

Z Wikipedii

Wzór de Moivre'a jest wzorem na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.

Jeżeli $a + bi=|z|(\cos\varphi + i\sin\varphi),\quad$ oraz $n$ jest całkowite, to

$(a + bi)^n=|z|^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$ .

Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania):

$z^{\frac{1}{n}}=(|z|(\cos x+i\sin x))^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right),\quad k\in\{0,\ldots, n-1\}$

Wzór ten odkrył i opublikował Abraham de Moivre.

Spis treści

1 Dowód indukcyjny dla liczb naturalnych
2 Uwagi
- 2.1 "Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1-ki"
- 2.2 Interpretacja w przestrzeni fazowej
3 Zobacz też

[edytuj] Dowód indukcyjny dla liczb naturalnych

[edytuj] Założenie

Dla $n=1\quad$ wzór jest prawdziwy, ponieważ jest to typowa postać liczby zespolonej.
Dla $n=k\quad$ $(a+bi)^k=|z|^k (\cos k\varphi+i\sin k\varphi)$ .

[edytuj] Teza

Dla $n=k+1\quad$ , mamy

$z^{k+1}=(a+bi)^{k+1}=|z|^{k+1}(\cos(k+1)\varphi+i\sin(k+1)\varphi)\quad$

[edytuj] Dowód

$L=(a+bi)^{k+1}=(a+bi)^k(a+bi)=|z|^k(\cos k\varphi+i\sin k\varphi)\cdot |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=\quad$

$=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos\varphi+i\cos k\varphi \sin\varphi+i\sin k\varphi \cos\varphi-\sin k\varphi \sin\varphi)=\quad$

$=|z|^{k+1}\left[\cos k\varphi \cos\varphi-\sin k\varphi \sin\varphi+i(\sin k\varphi\cos\varphi+\cos k\varphi \sin\varphi)\right]=\quad$

$=|z|^{k+1}[\cos(k+1)\varphi+i\sin(k+1)\varphi]=P\quad_\Box$

[edytuj] Uwagi

[edytuj] "Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1-ki"

Warto zwrócić uwagę, że

$1^{\frac{1}{n}} = \cos \frac{2 k \pi}{n} + i \sin \frac{2 k \pi}{n}, \quad k \in \{0,\ldots, n-1\}.$

[edytuj] Interpretacja $z^{\frac{1}{n}}$ w przestrzeni fazowej

Jeżeli liczbę zespoloną z zinterpretujemy jako wektor w przestrzeni fazowej $z = (\Re (z), \Im (z))$ , to $z^{\frac{1}{n}}$ jest zbiorem n wektorów, których końce są rozłożone równomiernie (co kąt $2π / n$ ) na okręgu o środku w punkcie $(0,0)$ .

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Algebra • Analiza zespolona

We provide Linux to the World

Wzór de Moivre'a

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Dowód indukcyjny dla liczb naturalnych

[edytuj] Założenie

[edytuj] Teza

[edytuj] Dowód

[edytuj] Uwagi

[edytuj] "Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1-ki"

[edytuj] Interpretacja $z^{\frac{1}{n}}$ w przestrzeni fazowej

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

We provide Linux to the World

Wzór de Moivre'a

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Dowód indukcyjny dla liczb naturalnych

[edytuj] Założenie

[edytuj] Teza

[edytuj] Dowód

[edytuj] Uwagi

[edytuj] "Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1-ki"

[edytuj] Interpretacja w przestrzeni fazowej

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

[edytuj] Interpretacja $z^{\frac{1}{n}}$ w przestrzeni fazowej