Zbiór Mandelbrota

Z Wikipedii

Zbiór Mandelbrota (żuk Mandelbrota, żuczek Mandelbrota) - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali. Nazwa tego obiektu została wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, francuskiego matematyka Benoit Mandelbrota.

Przybliżone samopodobieństwo zbioru Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota

[edytuj] Konstrukcja

Zbiór tworzą te punkty $p \in \mathbb{C}$ dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

z 0 = 0

$z_{n+1} = z_{n}^{2} + p$

nie dąży do nieskończoności:

$\lim _{n \to \infty} z_{n} \not = \infty$

Można wykazać, że jest to równoważne z:

$\forall_{n \in \mathbb{N}} |z_{n}|<2$

Podsumowując jednym zdaniem:

$M = \{p \in \mathbb{C}: \forall_{n \in \mathbb{N}} |z_n|<2 \}$

Alternatywnie zbiór Mandelbrota definuje się jako punkty, które w rodzinie zbiorów Julii dają zbiory spójne.

[edytuj] Obrazy przybliżone

Przybliżony (128 pierwszych wyrazów ciągu) obraz zbioru (czarny)

Dokładniejszy obraz (2048 pierwszych wyrazów ciągu)

Za pomocą komputera można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota. Obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki.

Aby uzyskać taki obraz dla każdego punktu p oblicza się pewną liczbę początkowych wyrazów ciągu z_n. Decyduje się, że punkt należy do zbioru jeżeli dla wszystkich (w szczególności dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek $| z n | < 2$ . Jest to tym samym obraz przybliżony. Okazuje się jednak, że efekt przybliżenia jest widoczny tylko w dużych powiększeniach. Zbiór Mandelbrota zawiera się (jest podzbiorem) każdego przybliżenia. Dla każdego z punktów nie należących do zbioru można określić liczbę m:

$\forall_{n \leq m} |z_{n}|<2$

Jest to liczba początkowych wyrazów ciągu z_n, które spełniają powyższy warunek. Ponieważ podczas wyznaczania obrazu przybliżonego liczba m jest uzyskiwana niejako "za darmo", często wykorzystuje się ją do pokolorowania punktów nie należących do zbioru Mandelbrota. Każdej z wartości m przyporządkowuje się pewien kolor. Można także skorzystać z alternatywnej metody współczynników. Do każdej wartości koloru w RGB przypisuje się współczynnik i mnoży razy m. Jeśli współczynniki dla każdego koloru będą jednakowe, obraz wyjdzie czarno-biały (w monochromacie). Różne współczynniki spowodują efekt przebarwienia wynikłego obrazu na kolor mniej-więcej odpowiadający kolorowi złożonego z wartości współczynników. Wygląda to trochę jak nałożenie na czarno-biały obraz kolorowej folii.