Determinante
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DETERMINANTES
Definição:
Determinantes são números associados à matrizes quadradas. Representamos o determinante de uma matriz através de duas barras verticais. Deste modo, se a matriz A é da da por
então representamos o seu determinante por
Cálculo de Determinantes:
Cada ordem de matriz apresenta uma forma particular para o cálculo do seu determinante. 1. Determinante de uma matriz de primeira ordem. O determinante da matriz A de ordem 1, é o próprio número que origina a matriz.Por exemplo:A = ( 3 ), então det. A = 3 2. Determinante de matriz de segunda ordem. Para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem basta subtrairmos o produto da diagonal secundária, do produto da diagonal principal.
Por exemplo: o determinante da matriz
é dado por: 0.(-1) - 2.1 = 0 - 2 = -2.3.
Determinante de matriz de terceira ordem.Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo.
= (aei + dhc + gbf) - (ceg + fha + idb)
Por exemplo: o determinante da matriz
é dado por: (2.1.3 + 7.1.(-1) + 8.2.(-4)) - ((-1).1.8 + (-4).1.2 + 3.2.7) = (6 - 7 - 64) - (-8 - 8 + 42) = (-65) - (26) = 91.4.
Determinantes de ordem maior ou igual a 4. Para calcularmos o determinantes de matrizes com ordem igual ou superior a quatro, podemos reduzir a sua ordem, utilizando o seguinte procedimento:
Dada a matriz quadrada
chamamos de determinante de A ao número det A = a11. D11 - a12. D12 + a13. D13 - ... + (-1)n+1. a1n. D1n, onde D11, D12. D13, ... , são os números complementares dos elementos a11, a12, a13, ..., a1n da matriz A. Para calcular estes números complementares, devemos eliminar a linha e a coluna a que o número em questão pertence. Deste modo, para calcular o complementar de a11, devemos eliminar a 1a linha e a 1a coluna da matriz A. Já para encontrar o complementar de a13, devemos eliminar a 1a linha e a 3a coluna da matriz A.Por exemplo: dada a matriz
o
Det A será dado por:
Calculando os determinantes das matrizes de terceira ordem, pela regra de sarrus, temos:1.0 - 0.12 -3.(-12) - 2.(-8)=0 - 0 + 36 + 16 = 52
Este procedimento deve ser utilizado para matrizes de ordem superior a quatro. Neste caso reduzimos a matriz sucessivamente, até que ela atinja a ordem 3, quando então aplicamos a regra de Sarrus.Você pode calcular determinantes de tereceira ordem, on-line, clicando aqui.
Propriedades dos Determinantes: 1. det A = det At 2. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero.
3. Se duas filas paralelas de um determinante forem iguais, ou proporcionais, o determinante será nulo.Exemplo 1:
O determinante é nulo porque a primeira e a terceira coluna são iguais (C1 = C3).
Exemplo 2:
O determinante é nulo porque a terceira coluna é o triplo da primeira. (C3 = 3.C1).
4. Um determinante é nulo se uma fila for combinação linear de outras filas paralelas.
Exemplo 1:
O determinante é nulo porque L1 + L2 = L3
Exemplo 2:
O determinante é nulo porque 2.L1 + L2 = L3 5. Um determinante troca de sinal quando trocamos a posição de duas filas paralelas. Você pode calcular determinantes com o auxílio de aplicativos específicos. Sugerimos o matrix ou o winmatrix, que você pode baixar clicando sobre o nome dos arquivos
