Paradoxo de Zenão
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[editar] Paradoxo de Zenão
Quando alguns filósofos atenienses se tornaram partidários da "divisão até ao infinito", surgiram os célebres PARADOXOS DE ZENÃO (495 - 435 a.C.) os quais acabaram por confundir os filósofos atenienses.
Platão conta que Zenão partiu de Eleia, colónia grega ao sul da Itália, para visitar Atenas com o filósofo Parménides seu amigo. Introduzido no meio intelectual da cidade, apresentou aos sábios atenienses quatro difíceis problemas, ou paradoxos, que os deixaram desconcertados e sem resposta. Todos eles tinham a ver com o movimento, e só foram devidamente esclarecidos 24 séculos depois com a clarificação dos conceitos de "infinitésimo" e "limite".
[editar] PARADOXO DA DICOTOMIA
Tudo o que se move tem de atingir metade do trajecto antes de chegar ao fim ; mas antes de atingir a metade, tem de chegar ao quarto e antes de chegar ao quarto, tem que chegar ao oitavo, e assim sucessivamente até ao infinito (sem nunca mais acabar). Logo, o movimento não chega a realizar-se, ao contrário do que parece. Com este paradoxo, Zenão visava atacar os partidários da "divisão até ao infinito" de qualquer porção de recta, por menor que fosse. Mas com o paradoxo da seta, atacava com igual habilidade os adeptos da recta como conjunto de pontos indivisíveis :
[editar] PARADOXO DA SETA
Uma seta lançada de um arco fica imóvel em cada instante, pois não pode ocupar várias posições no mesmo instante, visto que cada instante é indivisível. Ora o Tempo é feito de instantes ; como a seta não pode mover-se em nenhum instante, ficará sempre imóvel !
[editar] PARADOXO DO ESTÁDIO
Num estádio alinham-se três filas de atletas M, P, N. A fila P fica parada enquanto as outras se movem, em sentido contrário uma da outra, com a mesma rapidez. Num dado instante, M ultrapassa N no dobro dos atletas que ultrapassa em relação a P ; logo, M leva o dobro do tempo a ultrapassar P que a ultrapassar N. Mas, invertendo o movimento, com a mesma rapidez, leva o mesmo tempo a igualar P e a igualar N. Então, o dobro do tempo é igual à respectiva metade... (o que é que acha disto ?)
[editar] PARADOXO DE AQUILES
Aquiles, símbolo da força e da agilidade, corre para apanhar uma tartaruga (símbolo da lentidão) que se afasta dele. Mas quando chega ao lugar onde estava a tartaruga já ela não está lá porque avançou para um ponto mais adiante ; quando Aquiles chegar a este novo ponto já a tartaruga andou um pouco mais e assim sucessivamente, vemos que Aquiles nunca pode atingir a tartaruga, ao contrário do que sabemos que acontece.
Pouco depois, Eudoxo de Cnido (408 - 355 a.C.) já defendia que se pode atingir uma grandeza "tão pequena quanto se queira" pela divisão contínua de uma grandeza dada.
Arquimedes (287 - 212 a.C.) usou empiricamente os infinitésimos em cálculos de áreas e volumes, ultrapassando as discussões entre filosófos.
Esta utilização empírica dos infinitésimos foi retomada e desenvolvida no início do século XVII pelo frade Bonaventura Cavalieri, no cálculo de áreas e volumes e no século XVIII, pelos criadores do cálculo infinitesimal, Newton e Leibnitz. Mas foi só no princípio do século XIX que o matemático francês Augustin Cauchy definiu o conceito de "infinitamente pequeno como uma variável que tem zero como limite".
