Princípio da resolução

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O princípio da resolução é uma regra de inferência que da origem a uma técnica de demonstração por refutação para sentenças e inferências da lógica proposicional e da lógica de primeira ordem.

Índice

1 A Resolução na lógica proposicional
- 1.1 Regra de resolução
- 1.2 Uma técnica de resolução
2 A Resolução na lógica de primeira ordem
3 Mais Exemplos
- 3.1 Lógica Proposicional
  - 3.1.1 Exemplo 1
  - 3.1.2 Exemplo 2
- 3.2 Lógica de Primeira Ordem
  - 3.2.1 Exemplo 1
  - 3.2.2 Exemplo 2
4 Ver também
5 Ligações externas

[editar] A Resolução na lógica proposicional

[editar] Regra de resolução

O sistema dedutivo de resolução na lógica proposicional não possui axiomas, mas apenas uma regra de inferência que produz, a partir de duas cláusulas, uma nova cláusula implicada por elas. A regra de resolução toma duas cláusulas contendo literais complementares e produz uma nova cláusula com todos os literais de ambos, excluídos estes complementares. Formalmente, onde $a i$ and $b j$ são literais complementares:

$\frac{ a_1 \lor \ldots \vee a_{i-1} \vee a_i \vee a_{i+1} \vee \ldots \lor a_n, \quad b_1 \lor \ldots \vee b_{j-1} \vee b_j \vee b_{j+1} \vee \ldots \lor b_m} {a_1 \lor \ldots \lor a_{i-1} \lor a_{i+1} \lor \ldots \lor a_n \lor b_1 \lor \ldots \lor b_{j-1} \lor b_{j+1} \lor \ldots \lor b_m}$

A cláusula produzida pela regra de resolução é chamada de resolvente das duas cláusulas iniciais.

Quando as duas cláusulas contêm mais de um par de literais complementares, a regra de resolução pode ser aplicada (independentemente) para cada par. Entretanto, apenas o par de literais resolvidos pode ser removido: todos os outros pares de literais permanecem na cláusula resolvente.

[editar] Uma técnica de resolução

Quando usada em conjunto com um algoritmo de busca, a regra de resolução ganhar poder e utiliza o algoritmo de busca para decidir a satisfatibilidade de uma fórmula proposicional e a validade da sentença sob um conjunto de axiomas.

Esta técnica de resolução usa prova por contradição e é baseada no fato de que qualquer sentença da lógica proposicional pode ser convertida para uma sentença equivalente na forma normal conjuntiva. Os passos são os seguintes:

Todas as premissas e a negação da sentença a ser provada (conjectura) tem que estar conectadas por conjunções.
A sentença resultante é convertida para a forma normal conjuntiva (tratada como um conjunto de cláusulas, S).
A regra de resolução é aplicada a todos os possíveis pares de cláusulas que contém literais complementares. Após cada aplicação da regra de resolução, a cláusula resultante é simplificada removendo-se os literais repetidos. Se a cláusula contém literais complementares, ela é descartada (como uma tautologia). Caso contrário, e se ela ainda não está presente no conjunto de cláusulas S, então ela é adicionada a S, e é considerada para posteriores inferências da resolução.
Se depois de aplicar a regra de resolução uma cláusula vazia é derivada, a formula inteira não é satisfeita (ou contraditória), então é possível concluir que a conjectura inicial provém das premissas originais.
Se, por outro lado, a cláusula vazia não pode ser derivada, e a regra de resolução não pode ser aplicada para derivar mais cláusulas, a conjectura não é um teorema da base de conhecimentos original.

Outra instância deste algoritmo é o algoritmo de Davis-Putnam original, que foi mais tarde refinado para o algoritmo DPLL, que removeu a necessidade de uma representação explícita dos resolventes.

Como exemplo do algoritmo acima, considere a seguinte fórmula:

Que pode ser vista como um conjunto de cláusulas:

Seja $C$ um conjunto de cláusulas e representamos por $\bot$ a cláusula vazia, ${}$ . Aplica-se então a regra de inferência:

$\frac{\{C , p\}\quad \{C', \neg p\}}{\{C, C'\}}$

Aplicando a regra no conjunto de cláusulas do exemplo acima:

Foi possível então a dedução da cláusula vazia a partir do conjunto inicial de cláusulas.

[editar] A Resolução na lógica de primeira ordem

A resolução na Lógica de primeira ordem condensa os silogismos tradicionais de inferência lógica em uma única regra. Para entender como a resolução funciona, considere o seguinte exemplo de silogismo da lógica aristotélica:

Todos os gregos são europeus.
homero é grego.
Então, homero é europeu.

Ou de maneira mais geral:

X.(P(X) implica Q(X)).
P(a).
Então, Q(a).

Para traçar o raciocínio usado na técnica de resolução, primeiro as cláusulas devem ser convertidas para a forma normal conjuntiva. Nessa forma, todas as quantificações se tornam implícitas: quantificadores universais em variáveis (X, Y...) são simplesmente omitidos quando subentendidos, enquanto variáveis em quantificadores existenciais são substituídas por funções de Skolem.

P(X)  Q(X)
P(a) 
Então, Q(a)

Então a questão é, como a técnica de resolução deriva a ultima cláusula a partir das duas primeiras? A regra é simples:

Encontre duas cláusulas contendo o mesmo predicado, onde uma cláusula é negada e a outra não.
Faça a unificação em ambos os predicados. (Se a unificação falhar, então você fez uma má escolha de predicados. Volte para o passo anterior e tente novamente.)
Se, após a unificação, alguma variável não-ligada que foi ligada nos predicados unificados também ocorre em outros predicados nas duas cláusulas, então substitua pelos seus respectivos termos ligados.
Descarte os predicados unificados, e combine o restante das duas cláusulas em uma nova cláusula.

Para aplicar essa regra no exemplo acima, nós encontramos o predicado ‘P’ na forma negada na primeira cláusula:

P(X)

E em forma não negada na segunda cláusula:

P(a)

X é uma variável livre, enquanto a é um átomo. Unificando os dois obtemos a substituição:

 $σ$  = [(a,X)]

Descartando os predicados unificados, e aplicando a substituição dos predicados restantes (apenas Q(X), nesse caso), obtemos a conclusão:

Q(a)

Para um outro exemplo, considere a forma silogística:

Todos os políticos são corruptos.
Todos os corruptos são mentirosos.
Então todos os políticos são mentirosos.

Ou de maneira mais geral:

X P(X) implica Q(X)
X Q(X) implica R(X)
Então, X P(X) implica R(X)

Na FNC (Forma Normal Conjuntiva):

P(X)  Q(X)
Q(Y)  R(Y)

(Note que a variável na segunda cláusula foi renomeada pra deixar claro que variáveis em cláusulas diferentes são distintas)

Agora, unificando Q(X) na primeira cláusula com Q(Y) na segunda cláusula temos que X e Y se tornam a mesma variável. Efetuando esta substituição nas cláusulas restantes e combinando-as, temos a conclusão:

P(X)  R(X)

[editar] Mais Exemplos

[editar] Lógica Proposicional

[editar] Exemplo 1

Socrátes e Platão

Sócrates está em tal situação que ele estaria disposto a visitar

Platão (S), só se Platão estivesse disposto a visitá-lo (P);

$(P \rightarrow S)$

Platão está em tal situação que ele não estaria disposto a visitar

Sócrates, se Sócrates estivesse disposto a visitá-lo;

$(S \rightarrow \neg P)$

Platão está em tal situação que ele estaria disposto a visitar

Sócrates, se Sócrates não estivesse disposto a visitá-lo.

$(\neg S \rightarrow P)$

Pergunta-se:

Sócrates está disposto a visitar Platão ou não?

$(P \rightarrow S), (S \rightarrow \neg P), (\neg S \rightarrow P) \models S$

Transformação de $(P \rightarrow S) \wedge (S \rightarrow \neg P) \wedge (\neg S \rightarrow P)$ para a forma conjuntiva:

Temos então o seguinte conjunto de cláusulas:

Resolução:

Portanto concluímos que Platão está disposto a visitar Sócrates.

[editar] Exemplo 2

Ana

Se Anelise não for cantora (P) ou Anamélia for pianista(Q), então Anaís será professora (R).

$((\neg P \vee Q) \rightarrow R)$

Se Ana for atleta (S), então Anamélia será pianista (Q).

$(S \rightarrow Q)$

Se Anelise for cantora (P), então Ana será atleta (S).

$(P \rightarrow S)$

Anamélia não será pianista (Q).

$(\neg Q)$

É possível concluir que Anaís é professora (R)?

$(\neg P \vee Q) \rightarrow R, S \rightarrow Q, P \rightarrow S, \neg Q \models R$

Transformação do conjunto de premissas para a forma conjuntiva:

Temos então o seguinte conjunto de cláusulas:

Resolução:

Concluimos, portanto, que Anaís é Professora.

[editar] Lógica de Primeira Ordem

[editar] Exemplo 1

Toda pessoa é sábia ou tucana. Zé não é tucano. Zé é sábio?

U = pessoas
I[q(x)] = T sse x é sábio
I[p(x)] = T sse x é tucana
I[a] = Zé

O que quero provar?? Toda pessoa é sábia ou tucana. Zé não é tucano. Zé é sábio?

Por refutação:

Eliminamos o quantificador universal:

Como é possivel notar, a sentença já se encontra na forma normal clausal.

Nota: A forma normal clausal é simplesmente o nome que recebe a forma normal

conjuntiva após passar pelo processo de conversão, skolemização e reorganização típicos da lógica de primeira ordem.

Temos então o conjunto de cláusulas:

Agora aplicamos a resolução:

 
com  $σ$ ₁=[(x,a)]


com  $σ$ ₂=[(x,a)]

Chegamos então a uma cláusula vazia. Portanto, concluímos que se Zé não é Tucano então Zé é sábio.

[editar] Exemplo 2

Agora um exemplo mais direto e detalhado:

Seja a fómula:

Vamos mostrar que existe uma refutação da negação desta fórmula:

Passo 1: Negar a fórmula

Passo 2: Forma normal prenex

Passo 3: Fechar existencialmente da Fórmula

Passo 4: Skolemizar

Passo 5: Eliminação de quantificadores universais

Passo 6: Forma normal conjuntiva

Passo 7: Notação Cláusal

Passo 8: Resolução

 com  $σ$ ₀ = [(a, y)]

[editar] Ver também

[editar] Ligações externas

Resolution Principle at MathWorld

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../p/r/i/Princ%C3%ADpio_da_resolu%C3%A7%C3%A3o.html"

Categoria: Lógica matemática

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