Progressão aritmética

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Uma progressão aritmética é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante $r\,\!$ . O número $r\,\!$ é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r' de resto.

Alguns exemplos de progressão aritmética:

$P.a.(1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,...)\,\!$ , onde $r=3\,\!$ .
$P.a.(-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,...)\,\!$ , onde $r=-2\,\!$ .
$P.a.(6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,...)\,\!$ , onde $r=0\,\!$ .

Existem três tipos de progressão aritmética: crescente ( $r>0\,\!$ ), constante ( $r=0\,\!$ ) e decrescente ( $r<0\,\!$ ).

Índice

1 Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética
2 Soma dos termos de uma progressão aritmética
3 Prova da fórmula
4 Interpolação Aritmética
5 Tipos de progressões aritméticas
6 Referências
7 Ver também

[editar] Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

$a_n=a_1+(n-1).r\,\!$

Explicação

O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante

O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

$a_2=a_1+r\,\!$

O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

$a_3=a_2+r\,\!$

$a_2=a_1+r\,\!$ , portanto:

$a_3=(a_1+r)+r\,\!$

$a_3=a_1+2r\,\!$

O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

$a_4=a_3+r\,\!$

$a_3=a_1+2r\,\!$ , portanto:

$a_4=(a_1+2r)+r\,\!$

$a_4=a_1+3r\,\!$

Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

$a_n=a_1+(n-1).r\,\!$

[editar] Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética., a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

$S_n=\frac{n.(a_1+a_n)}2\,\!$

A soma dos termos entre $a_p\,\!$ e $a_q\,\!$ é:

$S_{(p,q)}=\frac{(q-p+1).(a_p+a_q)}2\,\!$

Segundo reza a lenda, Gauss apercebeu-se desta fórmula na escola primária e utilizou-a para calcular imediatamente a soma dos números inteiros de 1 a 100, tarefa que os restantes alunos demoraram toda a aula para realizar ^[1].

[editar] Prova da fórmula

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles.

Expresse a p.a. de duas maneiras:

$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$

$S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n$

Adicione os dois lados da equação. Todos os termos envolvendo d se cancelam, e então ficamos com:

$\ 2S_n=n(a_1+a_n)$

Rearranjando e se lembrando que $a n = a 1 + (n - 1) d$ , nós temos:

$S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}$ .

[editar] Interpolação Aritmética

É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:

$a_n=a_k+(n-k).r\,\!$

[editar] Tipos de progressões aritméticas

[editar] Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão aritmética constante:

P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0
P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0

[editar] Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre positiva e diferente de zero.

Exemplos de progressão aritmética crescente:

P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2
P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3

[editar] Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre negativa e diferente de zero.

Exemplos de progressão aritmética decrescente:

P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) - razão r = -2
P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) - razão r = -3