Sistema de equações lineares

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Sistemas de equacões lineares são conjuntos de $\,\!n$ equações diferentes e interdependentes, com $\,\!m$ incógnitas.

Índice

1 Técnicas de resolução
2 Ver também

[editar] Técnicas de resolução

Existem vários métodos equivalentes de resolução de sistemas.

[editar] Método da substituição

O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo igualdade com um polinômio. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.

[editar] Sistemas com duas equações

Um sistema com duas equações lineares se apresenta por:

$\,\!\left\{\begin{matrix}y=ax+b\\y=dx+c\end{matrix}\right.$

Onde $\,\!x$ e $\,\!y$ são as incógnitas.

Para solucioná-lo por substituição, substituem-se as variáveis em suas equações por seus polinômios correspondentes:

$\,\! \begin{matrix} \begin{matrix}y=ax+b\\x+y=8\\x-y=2\\\left(a-d\right)x=c-b\\x=\frac{c-b}{a-d}\end{matrix}& \begin{matrix}ax=y-b\\dx=y-c\\\frac{y-c}{d}=\frac{y-b}{a}\\ay-ac=dy-db\\(a-d)y=ac-db\\y=\frac{ac-db}{a-d}\end{matrix} \end{matrix}$

Portanto:

$\,\!\begin{matrix}x=\frac{c-b}{a-d}\\y=\frac{ac-db}{a-d}\end{matrix}$

[editar] Método da soma

O método da soma é o mais direto para se resolverem os sistemas, pois é uma forma simplificada de usar o método da substituição. Só é possível quando as equações são dispostas de forma que, ao subtrair ou somar os polinômios das equações, todas as incógnitas, exceto uma, se anulam. É mais simples e direto que o outro método.

[editar] Sistemas com duas equações

Para solucionar um sistema como o apresentado a seguir por soma, onde $\,\!x$ e $\,\!y$ são as incógnitas, deve-se subtrair os polinômios das equações.

$\,\!\left\{\begin{matrix}y=ax+b\\y=dx+c\end{matrix}\right.$

$\,\!\begin{matrix}y-y=ax+b-dx-c\\ax+b-dx-c=0\\x=\frac{c-b}{a-d}\end{matrix}$

O método da soma é possível apenas com determinadas incógnitas, dependendo das equações do sistema. Nesse caso, é possível apenas com uma. A outra deve ser determinada substituindo o valor descoberto para a primeira incógnita em uma das equações do sistema.

[editar] Factorizações de matrizes

Os métodos mais utilizados computacionalmente para resolver sistemas lineares envolvem factorizações de matrizes. O mais conhecido, a eliminação de Gauss, origina a factorização LU. Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver os sistemas mais simples Ly=b e Ux=6.