Teoria dos conjuntos
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Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845–1918), e se baseia na idéia de definir conjunto como uma noção primitiva. Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) relacionadas à definição de conjunto. Estas antinomias na teoria dos conjuntos conduziram a matemática a axiomatizar as teorias matemáticas, com influências profundas sobre a lógica e os fundamentos da matemática.
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[editar] Origem
A teoria teve seu início com a publicação em 1874 de um trabalho de Cantor que tratava sobre a comparação de coleções infinitas. O trabalho apresentava uma forma de comparar conjuntos infinitos pelo "casamento" 1-1 entre os elementos destes conjuntos.
Desde 1638, com Galileu Galilei, sabe-se que se pode obter uma correspondência 1-1 entre os números inteiros e seus quadrados, o que violava a concepção euclidiana de que o todo é sempre maior que qualquer uma de suas partes.
Esta aplicação da correspondência 1-1 permitiu a Cantor introduzir um método de diagonalização, que por contradição, permitia provar que o conjunto dos números reais não tinha correspondência 1-1 com o conjunto dos números inteiros. Isto, mais tarde, levou ao desenvolvimento do conceito de contínuo por Richard Dedekind.
Iniciando com estas descobertas, Cantor acabou desenvolvendo uma teoria dos conjuntos abstratos, que constitui-se em uma generalização do conceito de conjunto.
[editar] Conjunto
Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de objetos bem definidos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos, etc. Por exemplo, 4 é um número do conjunto dos inteiros. Como pode ser visto por este exemplo, os conjuntos podem ter um número infinito de elementos.
Se x é um membro de A, então também é dito que x pertence a A, ou que x está em A. Neste caso, escrevemos x ∈ A. (O símbolo "
" é derivado da letra grega épsilon, "ε", introduzida por Giuseppe Peano em 1888). O símbolo 
é às vezes usado para escrever x ∉ A, ou "x não pertence a A".
Os dois conjuntos A e B são iguais quando possuem precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é um elemento de B e cada elemento de B é um elemento de A. Um conjunto é completamente determinado por seus elementos; a descrição é imaterial. Por exemplo, o conjunto com os números 2, 3 e 5 é igual ao conjunto de todos os números primos menores que 6. Se A e B são iguais, então é representado simbolicamente por A = B (como de costume).
Também é permitido um conjunto vazio, muitas vezes representado por um 
: um conjunto sem membros. Já que um conjunto é determinado completamente por seus elementos, pode haver apenas um conjunto vazio.
[editar] Paraíso
A força desta Teoria é exemplificada pela frase de David Hilbert: "Ninguém pode nos expulsar do Paraíso criado por Cantor". [1]
Por exemplo, para definir o conceito de número cardinal, tendo a definição de função, basta definir:
- A é um número cardinal quando
, sendo f uma função bijetiva
Em outras palavras, o número cardinal "10" seria o conjunto formado por todos os conjuntos de 10 elementos. A definição de "0" é o conjunto 
, define-se "1" como:
- 1 = { x |
}
e, a partir da definição de interseção e união, define-se x + y como o conjunto formado pelas uniões disjuntas dos elementos de x e y.
[editar] Crítica
A Teoria dos Conjuntos de Cantor, apesar de fornecer uma poderosa ferramenta para construir toda a matemática em uma base axiomática, não resistiu muito tempo. O paradoxo de Russell, que consiste em definir o conjunto 
e depois fazer a pergunta 
, é a contradição mais famosa da teoria. Por causa desses paradoxos, outras teorias foram propostas.
[editar] Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel
Nesta teoria, cujo nome menciona os matemáticos Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel, só existe um tipo de conjunto: aqueles cujos elementos também são conjuntos. Em outras palavras, no Universo só existem conjuntos, a relação entre conjuntos, e tudo que pode ser definido através da lógica e dos axiomas.
Por exemplo, não existe um conjunto { a, b, c }, porque a, b ou c não são conjuntos; mas podemos definir 0 = , 1 = { 0 }, 2 = { 0, 1 }, de forma a termos alguns números naturais.
Esta teoria evita alguns paradoxos, mas deixa várias perguntas sem resposta, tais como a hipótese do contínuo.
