Teoria dos erros

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Na análise numérica, a teoria dos erros, diz que um problema está resolvido se, conjuntamente com a solução calculada, for apresentado o erro com que esta representa a solução encontrada.

Índice

1 Tipos de erro
2 Erro absoluto e erro relativo
3 Primeiro problema fundamental da teoria dos erros
4 Problema inverso da teoria dos erros

[editar] Tipos de erro

Erros nos dados experimentais e nos valores dos parâmetros:
- Sistemáticos - Erros que actuam sempre no mesmo sentido e podem ser eliminados mediante uma seleção de aparelhagem e do método e condições de experimentação.
- Fortuitos - Erros com origem em causas indeterminadas que actuam em ambos os sentidos de forma não previsível. Estes erros podem ser atenuados, mas não completamente eliminados.
Erros de truncatura - Resultam do uso de fórmulas aproximadas, ou seja, uma truncatura da realidade. Por exemplo, quando se tomam apenas alguns dos termos do desenvolvimento em série de uma função.
Erros de arredondamento - Resultam da representação de números reais com um número finito de algarismos significativos.

[editar] Erro absoluto e erro relativo

Todos os tipos de erro acima podem ser expressos como "erro absoluto" ou como "erro relativo". Também, pode ser tratados pela Análise Numérica ou pela Estatística.

Seja $X$ um número com valor exacto e $x$ um valor aproximado de $X$ . A diferença entre o valor exato e o valor aproximado é o erro de X

Ao módulo deste valor, chama-se de Erro absoluto de X

Logo,

Como geralmente não temos acesso ao valor exacto $X$ , o erro absoluto não tem na maior parte dos casos utilidade prática. Assim, temos que determinar um majorante de $Δ$ . Este valor designa-se de $\bar{\Delta}$ . Satisfaz a condição:

O mínimo do conjunto dos majorantes $\bar{\Delta}$ de $Δ$ , chama-se "erro máximo absoluto" em que $x$ representa $X$ .

Em face das regras de arredondamento consideradas, um número com $m$ casas decimais deve supor-se afectado de um erro máximo absoluto de:

Geralmente, mais útil do que o erro máximo absoluto é a relação entre este e a grandeza que está afectada pelo erro.

Ao quociente entre o "erro absoluto" e o módulo do valor exacto, chama-se Erro relativo de $X$ .

$\delta = \frac{\Delta}{|X|}$

No entanto, na prática não temos acesso ao erro relativo e temos que usar o majorante deste.

Se $Δ$ muito menor que $X$ então,

$\delta = \frac{\Delta}{|X|}\le \frac{\bar{\Delta}}{|x|}$

[editar] Primeiro problema fundamental da teoria dos erros

Estando os dados de um problema afetados de erro, calcula-se um majorante do erro em que a solução calculada representa a solução exata.

1. Erro na avaliação de funções de uma variável

$\Delta x \le |f'(x)|\Delta \bar{x}$

2. Erro na avaliação de funções com mais de uma variável

$\Delta x \le \sum_{k=1}^N |\frac{\delta f}{\delta x_i}|\bar{\Delta x_i^0}$

que é a Fórmula Fundamental da Teoria dos Erros

[editar] Problema inverso da teoria dos erros

O problema inverso da teoria dos erros consiste em determinar a precisão com que se devem utilizar os valores aproximados $x_1^0, x_2^0, x_3^0,... x_n^0$ de $x 1, x 2, x 3,..., x n$ para que $f(x_1^0, x_2^0, x_3^0,... x_n^0)$ seja um valor aproximado de $f (x 1, x 2, x 3,..., x n)$ com erro máximo absoluto inferior a um valor $ε$ pré-estabelecido.