Transformada de Laplace

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Em Matemática, e em particular na Análise funcional, a transformada de Laplace de uma função f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a função F(s), definida por:

$F(s) = \mathcal{L}\{f\}(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada é que a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Ela permite levar a resolução de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver.

A transformada de Laplace tem seu nome em homenagem ao matemático francês Pierre Simon Laplace.

Um abuso às vezes conveniente de notação, que acontece principalmente entre engenheiros e físicos, exprime isso da forma seguinte:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Quando se fala de transformada de Laplace, refere-se geralmente à versão unilateral. Existe também a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

$F_B(s) = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é uma constante que depende do comportamento de crescimento de f(t).

A transformada de Laplace também pode ser utilizada na resolução de equações diferenciais, e é extensamente utilizada em Engenharia elétrica.

Um aspecto interessante da transformada de Laplace é que os matemáticos, até hoje, não conhecem seu domínio. Em outras palavras, não existe nenhum conjunto de regras com o qual se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou não se aplicar a uma função.

[editar] Propriedades

[editar] Linearidade

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

[editar] Derivada

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

[editar] Integral

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

[editar] Composição

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$ Amortização

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

$\mathcal{L}\left\{ f(t-a) \right\} = e^{-as}F(s)$ Atraso

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

Nota: $u (t)$ é a função de etapa de Heaviside.

[editar] Valor final

$lim_{t \to \infty} f(t)=lim_{s \to 0} sF(s)$

[editar] Convolução

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

[editar] Transformada de Laplace de uma função de período p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

[editar] Potência n

$\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}$

[editar] Exponencial

$\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}$

[editar] Seno

$\mathcal{L}\{\,\sin(bt)\} = \frac {b}{s^2 + b^2}$

[editar] Co-seno

$\mathcal{L}\{\,\cos(bt)\} = \frac {s}{s^2 + b^2}$

[editar] Seno hiperbólico

$\mathcal{L}\{\,\sinh(bt)\} = \frac {b}{s^2-b^2}$

[editar] Co-seno hiperbólico

$\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {s}{s^2 - b^2}$

Demonstração

$\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {1}{2} \mathcal{L}\{\,e^{bt}+e^{-bt}\} = \frac {1}{2} (\mathcal{L}\{\,e^{bt}\} + \mathcal{L}\{\,e^{-bt}\}) = \frac {1}{2} (\frac {1}{s-b} + \frac {1}{s+b}) = \frac {1}{2} (\frac {s + b + s - b}{s^2-b^2}) = \frac {1}{2} (\frac {2s}{s^2-b^2}) = \frac {s}{s^2-b^2}$

[editar] Logaritmo natural

$\mathcal{L}\{\,\ln(t)\} = - \frac{\ln(s)+\gamma}{s}$

[editar] Raiz n

$\mathcal{L}\{\,\sqrt[n]{t}\} = s^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$

[editar] Função de Bessel do primeiro tipo

$\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}$

[editar] Função de Bessel modificada do primeiro tipo

$\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}$

[editar] Função erro

$\mathcal{L}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$

[editar] Algumas transformadas usuais

$\mathcal{L}\{t\}= {1 \over s^2}$

$\mathcal{L}\{t^n\}= {n! \over s^{n+1}}$

$\mathcal{L}\{e^{-at}\}= {1 \over s + a}$

$\mathcal{L}\{e^{-at} t^n\}= {n! \over (s + a)^{n+1}}$

$\mathcal{L}\{\sin\omega t\}= {\omega \over s^2+\omega^2}$

$\mathcal{L}\{\cos\omega t\}= {s \over s^2+\omega^2}$

[editar] Outras transformadas comuns

Transformada de Laplace	Função no domínio Tempo
$1$	$δ(t)$ , impulso unitário
$\frac{1}{s}$	$u (t)$ , degrau unitário
$\frac{1}{s^2}$	$t u (t)$ , rampa unitária
$\frac{1}{(s+a)^n}$	$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}$
$\frac{1}{s(s+a)}$	$1 - e - a t$
$\frac{1}{(s+a)(s+b)}$	$\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$
$\frac{s+c}{(s+a)^2+b^2}$	$e^{-at}\left(\cos{(bt)}+\left(\frac{c-a}{b}\right)\sin{(bt)}\right)$
$\frac{\sin\varphi s+a\cos\varphi}{s^2+a^2}$	$\sin{(at+\varphi)}$