Triângulo de Pascal

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O triângulo de Yang Hui.

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por binômios de Newton $\begin{matrix} {n\choose k} \end{matrix}$ , onde $\,\!n$ representa o número da linha (posição vertical) e $\,\!k$ representa o número da coluna (posição horizontal). O triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois várias de suas propriedades foram estudadas pelo francês Blaise Pascal.

[editar] Propriedades

[editar] Relação de Stiffel

O triângulo de Pascal.

Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e seu antecessor. ${n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}={n\choose k}$

$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}\\ \mathbf{0}&1&&&&&\\\mathbf{1}&1&1&&&&\\ \mathbf{2}&1&2&1&&&\\\mathbf{3}&1&3&3&1&&\\ \mathbf{4}&1&4&\underline{\overline{6}}&\underline{\overline{4}}&1&\\ \mathbf{5}&1&5&10&\underline{\overline{10}}&5&1\\ \end{matrix}$

Portanto:

$\begin{matrix}{4\choose 2}&+&{4\choose 3}&=&{5\choose 3}\\ &&&&\\ 6&+&4&=&10\end{matrix}$

[editar] Soma de uma linha

A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a $2^n\,\!$ .

$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}&\mathbf{2^{n}}\\ \mathbf{0}&1&&&&&&&{2^{0}=1}\\\mathbf{1}&1&1&&&&&&{2^{1}=2}\\ \mathbf{2}&1&2&1&&&&&{2^{2}=4}\\\mathbf{3}&1&3&3&1&&&&{2^{3}=8}\\ \mathbf{4}&1&4&6&4&1&&&{2^{4}=16}\\ \mathbf{5}&1&5&10&10&5&1&&{2^{5}=32}\\ \mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1&{2^{6}=64} \end{matrix}$

[editar] Soma de uma coluna

A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação ${n\choose n}+{n+1\choose n}+...+{n+k\choose n}={n+k+1\choose n+1}$ .

$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}\\ \mathbf{0}&1&&&&&&\\\mathbf{1}&1&\underline{\overline{1}}&&&&&\\ \mathbf{2}&1&\underline{\overline{2}}&1&&&&\\ \mathbf{3}&1&\underline{\overline{3}}&3&1&&&\\ \mathbf{4}&1&\underline{\overline{4}}&6&4&1&&\\ \mathbf{5}&1&5&\underline{\overline{10}}&10&5&1&\\ \mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1 \end{matrix}$

Portanto:

$\begin{matrix} {1\choose 1}&+&{2\choose 1}&+&{3\choose 1}&+&{4\choose 1}&=&{5\choose 2}\\ &&&&&&&&\\ 1&+&2&+&3&+&4&=&10\end{matrix}$

[editar] Simetria

O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se escrito da seguinte forma:

$\,\! \begin{matrix} {\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}} & {\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}} & {\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}} \end{matrix}$