Атом водорода
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Водородный атом является атомом химического элемента водорода. Он состоит из положительно-заряженного протона, который является ядром водородного атома и единственного отрицательно-заряженного электрона. Так как в дальнейшем изложении важен только заряд ядра, то не делается различия между ядрами атома водорода содержащими помимо протона также нейтроны (см. протий, дейтерий, тритий). Электрон и протон взаимодействуют посредством силы Кулона обратно пропорционально расстоянию. Из-за своей простоты как проблема двух тел водородный атом имеет специальное значение в квантовой механике и релятивистской квантовой механике поскольку допускает точное или приближенное аналитическое решение.
В 1913 Нильс Бор получил спектральные частоты водородного атома в его модели атома водорода имеющей множество предположений и упрощений. Эти предположения не были полностью правильны, но действительно приводили к правильным значениям энергии. Результаты рассчёта Бора для частот и основных значений энергии были подтверждены в 1925/26 полным квантовым-механическим анализом, который использовал уравнение Шрёдингера. Решение уравнения Шрёдингера для атома водорода может быть найдено в аналитической форме. Из него получают уровни энергии атома водорода и таким образом его частоты. Решение уравнения Шрёдингера даёт больше информации и о форме атомных орбиталей (их анизотропии) атома водорода.
Уравнение Шрёдингера также применяется к более сложным атомам и молекулам, однако, в большинстве таких случаев, решение не является аналитическим и необходимы компьютерные вычисления, или должны быть сделаны какие-нибудь упрощающие предположения.
Содержание |
[править] Решение уравнения Шрёдингера. Краткий обзор результатов
Решение уравнения Шрёдингера для водородного атома использует факт, что кулоновский потенциал является изотропным, то есть не зависит от направления в пространстве, другими словами обладает сферической симметрией. Хотя конечные волновые функции (орбитали) не обязательно сферически симметричны непосредственно, их зависимость от угловой координаты следуют полностью из этой изотропии основного потенциала: собственные значения оператора Гамильтона можно выбрать в виде собственных состояний оператора углового момента. Это соответствует тому факту, что угловой момент сохраняется при орбитальном движении электрона вокруг ядра. Отсюда следует, что собственые состояния гамильтониана задаются двумя квантоввми числами углового момента l и m (целые числа). Квантовое число углового момента l может принисать значения 0, 1, 2... и определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число может принимать m = −l, .., +l определяет проектирование углового момента на (произвольно выбранную) ось z.
В дополнение к математическим выражениям для волновых функций полного углового момента и проекции углового момента, нужно найти выражение для радиальной зависимости волновой функции. В потенциале 1/r радиальные волновые функции записывабтся с использованием полиномов Лагерра). Это приводит к третьему квантовому числу которое называется основное квантовое число n и может принимать значение 1, 2, 3... Основное квантовое число в атоме водорода связано с полной энергией атома. Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничена основным квантовым числом: оно может изменяться только до n − 1, то есть l = 0, 1, ..., n − 1.
Из-за сохранения углового момента, состояния с тем же l, но различными m имеют ту же самую энергию (это выполняется для всех проблем с аксиальной симметрией. Кроме того, для водородного атома, состояния с тем же самым n, но разными l также вырождены (то есть, они имеют ту же самую энергию). Однако, это - определенная особенность атома водорода и не верно для более сложных атомов, которые имеют (эффективный) потенциал, отличающийся от кулоновского (из-за присутствия внутренних электронов, экранирующих потенциал ядра).
Если мы принимем во внимание спин электрона то появится последнее квантовое число, проекция углового момента собственного вращения электрона на ось Z, которая может принисать два значения. Поэтому, любое собственное состояние электрона в водородном атоме описывается полностью четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это объясняет также, почему выбор оси Z для квантованиянаправления вектора углового момента является несущественным: орбиталь для данных l и m ' полученных для другой выделенной оси Z ', всегда представляеся как подходящая суперпозиция различных состояний с разными m (но тем же самым l), которые были получены для Z.
[править] Математическое описание атома водорода
[править] Энергетический спектр
Энергетические уровни атома водорода, включая тонкую структуру записываются в виде
-
- где
- α — постоянная тонкой структуры
- j — собственное значение оператора углового момента
Энергию 13.6 eV можно найти в простой модель Бора, с массой электрона m и зарядом электрона q:
[править] Волновые функции
В сферических координатах волновые функции имеет вид:
![\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = \sqrt {{\left ( \frac{2}{n a_0} \right )}^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]} } e^{- \rho / 2} \rho^{l} L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \cdot Y_{l,m}(\theta, \phi )](../../../math/f/a/3/fa36c367c22322c56f530b49d6c58b69.png)
где:
- a0 — радиус Бора.
— обобщённые полиномы Лагерра сиепени n-l-1.
— сферические гармоники.
[править] Угловой момент
Собственные значения для оператора углового момента:
[править] Визуализация орбиталей атома водородв
Изображение справо показывает первые немного орбиталей стома водорода (собственные функции гпмильтониана). Они представляют собой поперечные сечения плотности вероятности, величина которой зависит от цвета (чёрный цвет соответствеут минимальной плотности вероятности а белый — максимальной). Квантовое число углового момента l обозначено в каждой колонке, используя обычный спектроскопический обозначения (s означает l = 0; p: l = 1; d: l = 2). Главное квантовое число n (= 1, 2, 3...) отмечено справа от каждого ряда. Для всех картин магнитное квантовое число m равно 0, и сечение взято в плоскости - XZ , Z - вертикальная ось. Плотность вероятности в трехмерном в трёхмерном пространстве получается при вращении картинки вокруг оси Z.
Основное состояние, то есть состояние самой низкой энергии, в которой обычно находится электрон, является первым, состояние 1s (n = 1, l = 0). | Изображение с большим количеством орбиталей доступно до более высоких чисел n и l. Отметим, наличие черных линий, которые появляются на каждой картинке за исключением первой. Они - узловые линии (которые являются фактически узловыми поверхностями в трех измерениях). Их общее количество всегда равно n − 1, которое является суммой числа радиальных узлов (равного n - l - 1) и числу угловых узлов (равному l).
[править] См.
[править] Ссылки
- David J. Griffiths Introduction to Quantum Mechanics. — Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995. ISBN ISBN 0-13-111892-7
Параграф 4.2 описывает атом водорода, а вся глава 4 имеет отношение к теме.
- B.H. Bransden Physics of Atoms and Molecules. — London: Longman, 1983. ISBN ISBN 0-582-44401-2
