Бином Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Бином Ньютона — эта формула

$(a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n-1}b + \dots + {n\choose k}a^{n-k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n$ ,

где ${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, n - неотрицательное целое число.

[править] Для ненатуральных степеней

${(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}}$

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты находятся по формуле:

${r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-(k-1))}{k!}\,$

В частности,

$(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...$ .

Этот степенной ряд сходится при $|z|\le 1$ .

[править] История

Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрел Блез Паскаль, описавший ее в XVII веке. Тем не менее, она была известна еще китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, ее открыл персидский ученый, поэт и философ Омар Хайям.

Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.

[править] В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном (хотя эта формула входит в школьный курс алгебры).

В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

«Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность».

Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!».

Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик В. А. Успенский [1].

[править] См. так же

Формулы сокращённого умножения многочленов - наиболее частые частные случаи бинома Ньютона

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по математике | Алгебра

Бином Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Для ненатуральных степеней

[править] История

[править] В художественной литературе

[править] См. так же

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках