Комплексное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ко́мпле́ксные чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb{C}$ . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма $x + i y$ , где $x$ и $y$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению $i 2 = - 1$ .

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле и являются частным случаем гиперкомплексных чисел.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Матричная форма
2 Связанные определения
3 Представление комплексных чисел
- 3.1 Алгебраическая форма
- 3.2 Тригонометрическая форма
  - 3.2.1 Формула Муавра
4 История
5 Обобщения
6 Ссылки

[править] Определения

Формально комплексное число $z$ — это пара вещественных чисел $(x, y)$ со введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

$(x , y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \,$
$(x , y) \cdot (x' , y') = (xx' - yy' , xy' + yx'). \,$

Мнимая единица в такой системе представляется парой $i = (0,1) \,$ . Поэтому ошибочно определение числа $i$ как числа, удовлетворяющего уравнению $i 2 = - 1$ , так как число $( - i)$ также удовлетворяет этому уравнению.

[править] Матричная форма

Комплексные числа можно также идентифицировать с семейством вещественных матриц вида

$\begin{pmatrix} x & y \\ -y & \;\; x \end{pmatrix}$

с обычным матричным сложением и умножением.

[править] Связанные определения

Комплексная переменная обычно обозначается $z$ . Пусть $x$ и $y$ суть вещественные числа, такие, что $z = x + i y$ . Тогда

Комплексное число $\bar z=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к $z$ .
Числа или и или называются соответственно вещественной и мнимой частями z.
- Если $x = 0$ , то $z$ называется мнимым или чисто мнимым.
Число $|z| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\bar z}$ называется модулем числа $z$ , а
Угол $\varphi$ такой, что $\cos \varphi = x \cdot |z|^{-1}$ и $\sin \varphi = y \cdot |z|^{-1}$ , называется аргументом $z$ .

[править] Представление комплексных чисел

[править] Алгебраическая форма

Запись комплексного числа $z$ в виде $x + y i$ называется алгебраической формой комплексного числа.

[править] Тригонометрическая форма

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $r = | z |$ и аргумент $\varphi$ ( $x=r\cos\varphi$ , $y=r\sin\varphi$ ), то комплексное число $z$ можно записать в тригонометрической форме

$z=r(\cos\varphi+i \sin\varphi )=re^{i\varphi}$ .

[править] Формула Муавра

Формула Муавра — формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^n =[\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi) ]^n = \rho^n (\cos n\varphi +i\sin n\varphi)$ ,

где $\,\rho$ — модуль, а $\,\varphi$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Л. Эйлером в 1722 г.

[править] История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Дж. Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Р. Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида $a+b\sqrt{-1}$ , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть в XVI-XVII вв. «мнимыми». Однако даже для многих крупных ученых XVII в. алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».

Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах А. Муавра (A. de Moivre, 1707, 1724) и Р. Котеса (R. Cotes, 1722). Символ $i=\sqrt{-1}$ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же высказал в 1751 мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел, к такому же выводу пришел Д'Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Он же ввёл в употребление термин «комплексное число» в 1831. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя (С. Wessel, 1799). Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806 и 1814 работы Ж. Р. Аргана (J. R. Argand), повторявшей независимо выводы К. Весселя.

Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена У. Р. Гамильтоном (1837). Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.