Булева алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта статья содержит информацию об алгебраической структуре. Информация об основных операциях и понятиях булевой логики находится в статье Алгебра логики.

У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения).

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями $\land$ (аналог конъюнкции), $\lor$ (аналог дизъюнкции), унарной операцией $\lnot$ (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

$a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c$	$a \land (b \land c) = (a \land b) \land c$	ассоциативность
$a \lor b = b \lor a$	$a \land b = b \land a$	коммутативность
$a \lor (a \land b) = a$	$a \land (a \lor b) = a$	законы поглощения
$a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$	$a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$	дистрибутивность
$a \lor \lnot a = 1$	$a \land \lnot a = 0$	дополнительность

Первые три аксиомы означают, что (A, $\land$ , $\lor$ ) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй.

[править] Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

$a \lor a = a$	$a \land a = a$
$a \lor 0 = a$	$a \land 1 = a$
$a \lor 1 = 1$	$a \land 0 = 0$
$\lnot 0 = 1$	$\lnot 1 = 0$	дополнение 0 есть 1 и наоборот
$\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b$	$\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$	законы де Моргана
$\lnot \lnot a = a$		инволютивность отрицания

[править] Основные тождества

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением еще нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

$a \lor b = b \lor a$	$a \land b = b \land a$	1 коммутативность
$a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c$	$a \land (b \land c) = (a \land b) \land c$	2 ассоциативность
3.1 конъюнкция относительно дизъюнкции $a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$	3.2 дизъюнкция относительно конъюнкции $a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$	3 дистрибутивность
$a \lor \lnot a = 1$	$a \land \lnot a = 0$	4 дополнительность (свойства отрицаний)
$\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b$	$\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$	5 законы де Моргана
$a \lor (a \land b) = a$	$a \land (a \lor b) = a$	6 законы поглощения
$a \lor(\lnot a \land b) = a \lor b$	$a \land(\lnot a \lor b) = a \land b$	7 Блейка-Порецкого
$a \lor a = a$	$a \land a = a$	8 Идемпотентность
$\lnot \lnot a = a$		9 инволютивность отрицания
$a \lor 0 = a$	$a \land 1 = a$	10 свойства констант
$a \lor 1 = 1$	$a \land 0 = 0$
дополнение 0 есть 1 $\lnot 0 = 1$	дополнение 1 есть 0 $\lnot 1 = 0$
$(a \lor b)\land(\lnot a \lor b)=b$	$(a \land b) \lor (\lnot a \land b)=b$	11 Склеивание

См. также Алгебра логики

[править] Примеры

Самая простая булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:

∧	0	1
0	0	0
1	0	1

∨	0	1
0	0	1
1	1	1

a	0	1
¬a	1	0

Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в данном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.

Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций ∨ := ∪ (объединение), ∧ := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.

Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так:
A = { e ∈ R : e² = e, ex = xe, ∀x ∈ R },
тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями e ∨ f := e + f − ef и e ∧ f := ef.

[править] Принцип двойственности

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

[править] Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Знаменитая теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне разобщённого хаусдорфова топологического пространства.

[править] Аксиоматизация

В 1933 г. американский математик Хантингтон предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
Уравнение Роббинса: n(n(x + y') + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 30-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 г. Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

Категории: Теория решёток | Математическая логика

Булева алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Некоторые свойства

[править] Основные тождества

[править] Примеры

[править] Принцип двойственности

[править] Представления булевых алгебр

[править] Аксиоматизация

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках