Дивергенция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.

Содержание

1 Определение
2 Физическая интерпретация
3 Свойства
4 См. также

[править] Определение

Оператор дивергенции обозначается так: div F.

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}$

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} =\nabla \mathbf{F}$

[править] Физическая интерпретация

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \lim_{S \rightarrow 0} {\Phi_\mathbf{F} \over V}$

где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат

Например, если в качестве векторного поля мы возьмём совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет нам местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

[править] Свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

Линейность

$\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )$

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

$\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),$

или

$\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).$

Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трехмерном пространстве, с ротором:

$\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),$