Дискриминант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дискриминант многочлена $p (x) = a 0 + a 1 x + ... + a n x n$ , корни которого равны $α 1,α 2,...,α n$ , есть произведение

$D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$ .

[править] Свойства

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые.
, где R(p,p') — результант многочлена p(x) и его производной p'(x).
- В частности, дискриминант многочлена

p(x) = xⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀

равен определителю следующей (2n − 1)×(2n − 1)-матрицы:

 1     a_n−1     a_n−2      .         .        .    a₀       0           .   .   .   0
 0     1        a_n−1     a_n−2       .        .    .       a₀           0   .   .   0
 0     0        1        a_n−1     a_n−2       .    .       .            a₀  0   .   0
 .     .        .        .         .        .    .
 .     .        .        .         .        .    .
 0     0        0        0         0        1    a_n−1    a_n−2          .   .   .  a₀
 n  (n−1)a_n−1 (n-2)a_n−2   .         .       1a₁   0        0           .   .   .   0
 0     n      (n−1)a_n−1 (n−2)a_n−2   .        .   1a₁       0           0   .   .   0
 0     0        n       (n−1)a_n−1 (n−2)a_n−2  .    .       1a₁          0   0   .   0
 .     .        .        .         .        .    .
 .     .        .        .         .        .    .
 0     0        0        0         0        n  (n−1)a_n−1(n−2)a_n−2      .   .  1a₁  0
 0     0        0        0         0        0    n      (n−1)a_n−1(n−2)a_n−2 .   .  1a₁