Многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной, это выражения вида

$c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n,$

где $c i$ фиксированные коэффициенты, а $x$ — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.

Простейшая функциональная зависимость, линейная, рассмотренная ещё в папирусе Ринда (1850—1650 до н.э.), является полиномиальной. Простота формулировки, наглядная геометрическая интерпретация, так же как и практическая необходимость обеспечили место линейным и квадратным уравнениям в древней математике. Со временем внутренняя логика математического знания потребовала аналогичного рассмотрения уравнений 3-й и выше степеней. Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компакных подмножествах евклидова пространства (смотри Теоремы Вейерштрасса о приближении), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определенные как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

[править] Определение

Многочлен (или полином) от n переменнных — есть конечная формальная сумма вида

$\sum c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n}$ ,

где $I = (i 1, i 2,..., i n)$ есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), $c I$ — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

$c_0+c_1x^1+\cdots+c_nx^n$

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца $R$ (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом $R$ без делителей нуля) которое обозначается

R [x 1, x 2,..., x n].

[править] Связанные определения

В случае, когда многочлен имеет один, два или три члена, его называют соответственно одночленом, двучленом или трёхчленом.
Множество мультииндексов $I$ для которых коэффициенты $c I$ ненулевые называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка многогранником Ньютона.
Многочлен вида называется одночленом
- Одночлен, соответствующий мультииндексу $I=(0,\dots,\,0)$ называется свободным членом.
Полной степенью (ненулевого) одночлена называется целое число | I | = i₁ + i₂ + ... + i_n.
- Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана.

[править] Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение $p q$ делится на неприводимый многочлен $λ$ , то p или q делится на $λ$ . Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен $x 4 +$ 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного $x$ разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого $n > 2$ существуют многочлен от $n$ переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие М. наз. абсолютно неприводимыми.

[править] Полиномиальные функции

Пусть $A$ есть алгебра над кольцом $R$ . Произвольный многочлен $p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n]$ определяет полиномиальную функцию

$p_R:A\to A$ .

Чаще всего рассматривают случай $A = R$ .

В случае если $R$ есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов) то функция $f_p:R^n\to R$ полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены $p_1(x)\equiv x$ и $p_2(x)\equiv x^2$ из $\Z_2[x]$ определяют тождественно равные функции $\Z_2\to\Z_2$ .

[править] Свойства

Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом.
- Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.