Замыкание (математика)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Замыка́нием множества относительно некоторой операции называется результат расширения множества минимальным набором элементов такой, что эта операция не выводит за пределы расширенного множества.
Содержание |
[править] Геометрия-Анализ
В топологии замыкание подмножества M топологического пространства обычно определяется как пересечение всех замкнутых подмножеств содержащих M. Замыкание M обычно обозначается 
или cl(M).
В анализе обычно употребляется другое, эквивалентное определение:
Замыкание относительно операции взятия предельной точки. Точка топологического пространства (и в частности метрического пространства) x называется предельной точкой множества M, если любая её выколотая окрестность содержит хотя бы одну точку из M. Множество всех предельных точек множества M обозначается M'. Замыканием множества M называется множество 
. Множество M называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т. е. 
. Очевидно, множество является минимальным замкнутым множеством, содержащим M.
Точка x называется точкой прикосновения подмножества M, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку из M. Нетрудно видеть, что множество всех точек прикосновения совпадает с .
Свойства замыкания:
;
;
;- Если
, то 
; 
.
[править] Алгебра
[править] Замыкание относительно алгебраических операций
Пусть M — подмножество некоторой алгебраической структуры K (например, группы или кольца). Замыканием множества M относительно алгебраических операций в K называется минимальная подструктура (соответственно, подгруппа или подкольцо) K, содержащая M.
См. также свободно порожденная группа
[править] Алгебраическое замыкание поля
Замыкание относительно операции взятие алгебраических чисел над полем. Поле называется алгебраически замкнутым, если оно содержит все свои алгебраические числа (решения алгебраических уравнений с коэффициентами из поля). Примером алгебраически замкнутого поля является поле комплексных чисел 
(см. основная теорема алгебры).
