Группа (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гру́ппа — в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Всем знакомые вещественные числа наделены сложением — операцией, обладающей некоторым набором свойств. Похожими свойствами обладают и многие другие из объектов, которые изучает математика, — например, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Теория групп занимается изучением взаимосвязей между этими свойствами в общем виде. Структура группы включается в различные другие алгебраические структуры, такие как поля, векторные пространства или группы Ли. Кроме того, группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Комментарии
- 1.2 Связанные определения
2 Примеры
3 Стандартные обозначения
- 3.1 Мультипликативная запись
- 3.2 Аддитивная запись
4 Простейшие свойства
5 Получение новых групп из уже известных
6 Обобщения
7 См. также
8 Популярная литература
9 Научная литература

[править] Определения

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией · : $G \times G \to G$ называется группой (G, ·), если выполнены следующие аксиомы:

ассоциативность: для любых a, b и c из G верно (a · b) · c = a · (b · c);
наличие нейтрального элемента: в G существует элемент e такой, что для всех a из G справедливо e · a = a · e = a;
наличие обратного элемента: для любого a из G найдётся элемент a^-1 из G, называемый обратным, такой, что a · a^-1 = a^-1 · a = e.

[править] Комментарии

Заметим, что от группы не требуется свойства a · b = b · a (так называемой коммутативности).
- Пара элементов, для которых это равенство выполнено, называются перестановочными или коммутирующими.
- Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
- Группа, для которой это равенство выполнено для произвольных элементов a, b из G, называется коммутативной, или абелевой.
В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:

Для любых a и b из G существуют единственные x и y из G такие, что: a · x = b и y · a = b.

Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (e_l · a = a) и левого обратного (a' · a = e_l) элементов. При этом они автоматически являются e и a^-1:

$e_l = a' \cdot a \Leftrightarrow e_l \cdot e_l = a' \cdot a \Leftrightarrow a' \cdot a \cdot e_l = a' \cdot a \Leftrightarrow a'' \cdot a' \cdot a \cdot e_l = a'' \cdot a' \cdot a \Leftrightarrow e_l \cdot a \cdot e_l = e_l \cdot a \Leftrightarrow a \cdot e_l = a$ ;

$a \cdot a' = e \cdot (a \cdot a') = (a'' \cdot a') \cdot (a \cdot a') = a'' \cdot (e \cdot a') = a'' \cdot a' = e$ .

[править] Связанные определения

см. основую статью Словарь терминов теории групп.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
Порядок группы (G,*) — мощность G (т.е. число её элементов).
- Если множество G конечно, то группа называется конечной.

[править] Примеры

Целые числа с операцией сложения. $(\Z,+)$ группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.

Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.

Свободная группа с двумя образующими ( $F 2$ ) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем $ε$ (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a, a⁻¹, b и b⁻¹ таких, что a не появляется рядом с a⁻¹ и b не появляется рядом с b⁻¹. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa⁻¹, a⁻¹a, bb⁻¹ и b⁻¹b.

Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной некоммутативной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

Циклические группы состоят из степеней a⁰ = e, a, a², … одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

[править] Стандартные обозначения

[править] Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применятеся мультипликативная запись:

результат операции называют произведением и записывают «a·b» или «ab»;
нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
обратный к a элемент записывается как «a⁻¹».

Кратные произведения aa, aaa, … записывают в виде целых степеней a², a³, …, причём (a^-1)ⁿ = a^-n, a⁰ = e.

[править] Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющяя операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
обозначают нейтральный элемент «0» и называем его нулём;
обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a - b;
выражения вида a + a, a + a + a, -a - a, … обозначают символами 2a, 3a, -2a, …

[править] Простейшие свойства

Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
(a^-1)^-1 = a, a^maⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.
(ab)^-1 = b^-1a^-1.
Верны законы сокращения:

c · a = c · b ⇔ a = b,

a · c = b · c ⇔ a = b.

Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g₁ любой её подгруппы G₁ является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.

[править] Получение новых групп из уже известных

В группе может существовать несколько подгрупп. Для определения их числа пользуются теоремой Лагранжа и теоремами Силова.
Пусть дана группа G и её нормальная подгруппа H, тогда факторгруппа G/H есть множество смежных классов по H вместе с операцией умножения, которая корректно определяется по представителям: (gH)(hH)=(gh)H.
Полупрямое произведение и, в частности,
- Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g₁,h₁)(g₂,h₂) = (g₁ · g₂,h₁•h₂).
Свободное произведение двух групп $G$ и $H$ есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих $G$ и $H$ , a система соотношений есть объединение систем соотношений $G$ и $H$ . Например, модулярная группа является свободным произведением $\Z_2$ и $\Z_3$ .

[править] Обобщения

Группоид — группа без требования того, чтобы операция была определена для любых элементов.
Полугруппа
Множество G с заданной на нём бинарной операцией ·, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Таким образом, группа может быть определена как моноид, в котором каждый элемент обратим.
Квазигруппа

[править] См. также

[править] Популярная литература

Александров П. С. Введение в теорию групп, выпуск 7 серии «Библиотечка Квант».
Садовский Л., Аршинов М., Группы, Квант, №10, 1976.

[править] Научная литература

Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

Категория: Теория групп