Интеграл Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Геометрический смысл интеграла Римана

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Содержание

1 Неформальное геометрическое описание
2 Определение
3 Свойства
4 См. также
5 Ссылки

[править] Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

[править] Определение

Пусть на отрезке $[a, b]$ определена вещественнозначная функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка $a=a_0 < a_1 < a_2 < \dots < a_{n-1} < a_n=b$ — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок $[a, b]$ на n отрезков $[a_{i-1}, a_{i}],\; i=1\dots n$ . Длина наибольшего из отрезков $max i (a i - a i - 1)$ называется диаметром разбиения.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке $t_i \in [a_{i-1}, a_i]$ . Интегральной суммой называется выражение $\sum_{i=1}^n f(t_i) (a_i-a_{i-1})$ .

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к какому-либо числу, то это число называется интегралом функции f на отрезке $[a, b]$ (обозначается $\int\limits_a^b f(x)dx$ ).

В этом случае, сама функция f является интегрируемой (по Риману) на $[a, b]$ ; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке $[a, b]$ .

[править] Свойства

Если функция F является первообразной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)-F(a).
Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.
Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке $[a, b]$ , то она интегрируема и на меньшем отрезке $[a 1, b 1]$ , где $a\le a_1 < b_1\le b$ .
Если функция интегрируема на отрезке $[a, b]$ и на отрезке $[b, c]$ , то она интегрируема и на отрезке $[a, c]$ и $\int\limits_a^c f(x)dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_b^c f(x)dx$ .
Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и $\alpha, \beta \in {\Bbb R}$ , то функция $α f + β g$ тоже интегрируема, и