Квазигруппа
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В абстрактной алгебре, квазигру́ппа — это алгебраическая структура, напоминающая группу тем, что в ней всегда возможно деление. В отличие от групп, квазигруппа не обязана быть ассоциативной.
[править] Определения и свойства
Квазигруппой называют пару (Q, *) из множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что
- a * x = b
- y * a = b
Решения этих уравнений иногда записывают так:
- x = a \ b
- y = b / a
Операции \ и / называют левым и правым делением.
Квазигруппу с единицей называют также лупой.
Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (т. е. они совпадают как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что
- (x, y) = [xA, yB]C
(здесь ( , ) и [ , ] - операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.
Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то она является группой. В более общем случае, если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны группе. Изотопия, в некотором смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.
[править] Примеры
- Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b
x = a−1 * b, y * a = b y = b * a−1. - Целые числа (
) с операцией вычитания (−) являются квазигруппой. - Ненулевые рациональные числа
(или вещественные - 
) с операцией деления (÷) являются квазигруппой. - Множество {±1, ±i, ±j, ±k} где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются также, как в кватернионах является квазигруппой с единицей (лупой).
- Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = (x + y) / 2 образует структуру идемпотентной, коммутативной квазигруппы.
