Класс PH

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В теории алгоритмов классом сложности PH (от англ. polynomial hierarchy) называется объединение всех классов сложности из полиномиальной иерархии:

Таким образом, предикат принадлежит классу PH, если сущесвтует такое k, что предикат принадлежит классу или . Также говорят, что язык, распознаваемый таким предикатом (т.е. множество всех слов, на которых предикат возвращает 1), принадлежит классу PH.

[править] Эквивалентные определения

[править] Логическая характеризация

Класс языков PH в точности совпадает с классом языков, выразимых с помощью логики второго порядка.

[править] Игровая характеризация

Назовём конечной игрой следующую структуру. Имеется дерево, вершины которого помечены именами двух игроков A и B (все вершины одного уровня помечены одним и тем же именем, ходы чередуются), а рёбра соответствуют ходам игроков. Пусть дано некоторое начальное слово x — начальная конфигурация игры. Тогда количество уровней в дереве (т.е. количество ходов) равно некоторой функции f от длины x, а каждое ребро помечено словом длины g от длины x (ходом игрока является слово, которым помечено ребро). Имеется предикат от начальной конфигурации и последовательности ходов игроков, который определяет, кто выиграл (если он равен 1, то выиграл первый игрок). Поскольку игра конечна, то выигрышная стратегия всегда существует либо у первого игрока, либо у второго. Назовём игру распознающей язык L, если для каждого слова x из L у игрока A есть выигрышная стратегия.

Класс PH является классом всех языков, распознаваемых играми, такими, что f равна константе (т.е. количество ходов в игре фиксировано и не зависит от длины входного слова), а g является многочленом от длины x (таким образом, из каждой вершины дерева, кроме последней, исходит по 2^p(n) рёбер, где p(n) — этот многочлен).

[править] Замкнутость

В отличие от составляющих класс PH классов полиномиальной иерархии, про PH доподлинно известно, что он замкнут относительно пересечения, объединения и дополнения языков. Это означает, что если языки L₁ и L₁ принадлежат PH, то языки , и принадлежат PH.

Для доказательства достаточно предъявить игры, распознающие эти комбинации языков, если имеются игры, распознающие L₁ и L₂. Для дополнения передадим право первого хода другому игроку и в качестве предиката выигрыша возьмём . Для пересечения возьмём две игры, распознающие L₁ и L₂, такими, что количество ходов в них одинаковое, а вторую начинает не тот игрок, который делает последний ход в первой. После этого в каждую концевую вершину первой игры добавим вторую игру, а в качестве предиката выигрыша возьмём , где ω₁ и ω₂ — разбиение всей последовательности ходов на две: часть, соответствующая первой игре, и часть, соответствующая второй. Для объединения возьмём игры, распознающие L₁ и L₂, с одинаковым количеством ходов и одинаковым первым игроком. Создадим новую вершину, соответствующую другому игроку, и прицепим к ней одно дерево первой игры (над этим ребром напишем слово 00...0) и оставшиеся 2^p(n) − 1 рёбер второй игры. Первое слово игры обозначим z, а остальную часть последовательности слов — ω, а в качестве предиката выигрыша возьмём .

[править] Отношения с другими классами

По определению, в класс PH включены все классы полиномиальной иерархии, в том числе P и NP. Кроме того, он содержит вероятностные классы, такие как класс BPP (т.к. BPP сожержится в классе ). Сам класс PH включён в класс PSPACE и класс P^PP (класс задач, которые решаются за полиномиальное время на машине Тьюринга с доступом к оракулу класса PP).

[править] Открытые проблемы

Установлено, что P = NP, если и только если P = PH. Это утверждение может облегчить доказательство того, что P ≠ NP (если это так), поскольку нужно будет лишь отделить P от более общего класса, чем NP.