Колебательный контур

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Колебательный контур — электрическая цепь, содержащая последовательно соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (или напряжения).

[править] Принцип действия

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения $U 0$ . Энергия, запасённая в конденсаторе составляет

$E_C = \frac{CU_0^2}{2}$

При соединии кондесатора с катушкой в цепи потечёт ток $I$ , что вызовет в катушке индуктивности электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия колебательного контура $E C = 0$ . Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, масимальна и равна

$E_L = \frac{LI_0^2}{2}$ , где

L

— индуктивность катушки,

I 0

— максимальное значение тока.

После этого начнется перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки, не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения $- U 0$ .

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

Колебательный контур

[править] Математическое описание процессов

Напряжение, возникающее в катушке при изменении протекающего тока равно

$u_L = -L\frac{di_L}{dt}$ .

Аналогично для тока, вызванного изменением напряжения на конденсаторе:

$i_C = C\frac{du_C}{dt}$ .

Поскольку всё возникающее в катушке напряжение падает на конденсаторе, и наоборот, ток, вызванный конденсатором проходит через катушку, то дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое, получаем

$\frac{d ^{2}i(t)}{dt^{2}} + \frac{1}{LC} i(t) = 0$