Кривизна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В дифференциальной геометрии, кривизна́ - собирательное название ряда количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т.д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т.д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт совпадение (локальное но не глобальное) изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

[править] Кривизна кривой

Пусть γ(t) - регулярная кривая в d-мерном евклидовом пространстве, параметризованная длиной. Тогда

называется кривизной кривой γ в точке p = γ(t), здесь обозначает вторую производную по t. Вектор

называется вектором кривизны γ в точке p = γ(t₀).

Для того чтобы кривая γ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

[править] Кривизна поверхности

Пусть Φ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть p - точка Φ, T_p - касательная плоскость к Φ в точке p, n - единичная нормаль к Φ в точке p, а - π_e плоскость, проходящая через n и некоторый единичный вектор e в T_p. Кривая γ_e , получающаяся как пересечение плоскости π_e с поверхностью Φ, называется нормальным сечением поверхности Φ в точке p в направлении e. Величина

где обозначает скалярное произведение, а k вектор кривизны γ_e в точке p называется нормальной кривизной поверхности Φ в направлении e. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой γ_e.

В касательной плоскости T_p существуют два перпендикулярных направления e₁ и e₂ такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

κ_e = κ₁cos²α + κ₂sin²α

где α - угол между e и e₁, a величины κ₁ и κ₂ нормальные кривизны в направлениях e₁ и e₂, они называются главными кривизнами, а направления e₁ и e₂ - главными направлениями поверхности в точке p. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

H = κ₁ + κ₂

называется средней кривизной поверхности. Величина

K = κ₁κ₂

называется гауссовой кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности не изменяется при изометрических изгибаниях.

[править] См. также

• Тензор кривизны
• Форма кривизны