Intersección (teoría de conjuntos)

En matemáticas , la intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos de A que también pertenecen a B (o equivalentemente, todos los elementos de B que también pertenecen a A), pero sin otros elementos.

Para la explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos.

Definición básica

La intersección de A y B

La intersección de A y B se escribe "A ∩ B". Formalmente:

x es un elemento de A ∩ B si y solo si

• x es un elemento de A y
• x es un elemento de B.

Por ejemplo:

• La intersección de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {2, 3}.
• El número 9 no está en la intersección del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}.

Si la intersección de dos conjuntos A y B está vacía, es decir que no tienen elementos en común, entonces se dice que son disjuntos, denotado: A ∩ B = Ø. Por ejemplo, los conjuntos {1, 2} y {3, 4} son disjuntos, escritos
{1, 2} ∩ {3, 4} = Ø.

Más generalmente, se puede tomar la intersección de varios juegos a la vez. La intersección de A, B, C, y D, por ejemplo, es A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ (B ∩ (C ∩ D)). Intersección es un asociativa operación; Por lo tanto,
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

Intersecciones arbitrarias

La noción más general es la intersección de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos. Si M es una conjunto no vacío cuyos elementos son a su vez establece, entonces x es un elemento de la intersección de la M si y solo si para cada elemento A de M, x es un elemento de A. En símbolos:

Esta idea subsume los párrafos anteriores, en el que, por ejemplo, A C ∩ ∩ B es la intersección de la colección {A, B, C}.

La notación para este último concepto puede variar considerablemente. Establecer teóricos algunas veces escribir "∩ M", mientras que otros en lugar de escribir "∩ _{A ∈ M} A". La última anotación se puede generalizar a "∩ _{i ∈ I} A _i", que se refiere a la intersección de la colección {A _i: i ∈ I}. Aquí I es un conjunto no vacío, y A _i es un conjunto para cada i en I.

En el caso de que la conjunto de índices que es el conjunto de los números naturales , es posible que vea la notación análoga a la de un serie infinita:

Cuando el formateo es difícil, esto también se puede escribir _"A1 ∩ _A2 ∩ ∩ A ₃ ...", aunque estrictamente hablando, _A1 ∩ (A ₂ ∩ (A ∩ ₃ ... no tiene sentido. (Este último ejemplo, una intersección de una cantidad numerable de conjuntos, en realidad es muy común, por ejemplo ver el artículo sobre σ-álgebras.)

Finalmente, notemos que cada vez que el símbolo "∩" se coloca antes de otros símbolos en lugar de entre ellos, debe ser de un tamaño más grande (⋂).

Intersección nullary

Tenga en cuenta que en el apartado anterior se excluye el caso en que M era el conjunto vacío (∅). La razón es la siguiente. La intersección de la colección M se define como el conjunto (ver notación de conjuntos-constructor)

Si M es vacío no hay conjuntos A en M, por lo que la pregunta es "la que X 's satisfacen la condición establecida?" La respuesta parece ser cada posible x. Cuando M está vacía la condición dada anteriormente es un ejemplo de una verdad vacua. Así que la intersección de la familia vacío debe ser el "conjunto de todo". El problema es, no hay tal conjunto. Suponiendo un conjunto tal existe conduce a un problema famoso en la teoría de conjuntos ingenua conocido como La paradoja de Russell. Por esta razón la intersección del conjunto vacío se deja indefinido.

Una solución parcial para este problema se puede encontrar si estamos de acuerdo en restringir nuestra atención a los subconjuntos de un conjunto fijo de U llamado universo. En este caso la intersección de una familia de subconjuntos de U puede ser definida como

Ahora bien, si M está vacía no hay ningún problema. La intersección es sólo la totalidad del universo U, que es un bien definido fijado por supuesto.