Aksjomat Archimedesa
Z Wikipedii
W geometrii Aksjomat Archimedesa to aksjomat sformułowany przez Archimedesa.
Według niego każdy odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności długości każdego innego odcinka. Z niego wynika nieograniczoność prostej.
Mówiąc inaczej, dla każdej pary dodatnich liczb rzeczywistych a i b istnieje taka liczba naturalna n, że a < n·b.
W teorii ciał uporządkowanych spełnianie aksjomatu Archimedesa charakteryzuje ciała izomorficzne z podciałami ciała liczb rzeczywistych. Innymi słowy: jeśli ciało uporządkowane nie jest monotonicznie izomorficzne z podciałem ciała liczb rzeczywistych, to ma elementy większe od wszystkich liczb naturalnych (takie elementy nazywamy nieskończenie wielkimi).
Dawid Hilbert, w aksjomatyzacji geometrii, korzystał z aksjomatu Archimedesa, a nie z aksjomatu Dedekinda, z tym że aksjomat Archimedesa Hilbert uzupełniał aksjomatem kompletności (maksymalności) linii prostej (lub ciała liczb rzeczywistych), który występował jako ostatni i mówił, że linia prosta jest maksymalnym zbiorem spełniającym wszystkie poprzednie aksjomaty. Hilbert traktował Aksjomat Archimedesa i kompletności jako dwie części tego samego większego aksjomatu.
Archimedes wprowadził i traktował jako aksjomat również następujące twierdzenie o płaskich ciałach wypukłych (o ograniczonych zbiorach wypukłych, z niepustym wnętrzem czyli nie zawartych w żadnej linii prostej):
-
- ciało wypukłe A, zawarte w ciele wypukłym B, ma obwód nie większy niż ciało B (mniejszy, gdy dodatkowo A ≠ B).
