Aproksymacja liniowa
Z Wikipedii
Aproksymacja liniowa funkcji to przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.
Dla danej funkcji funkcji różniczkowalnej f jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora z n=1 można napisać:
gdzie R2 jest resztą wzoru, spełniającą warunek:
Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:
i przybliżenie to jest tym lepsze, im x jest bliższe a. Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f(x), w punkcie o współrzędnych .
Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład, jeżeli f(x,y) jest funkcją rzeczywistą dwu zmiennych, otrzymujemy wzór:
Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji z = f(x,y) punkcie o współrzędnych
Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:
gdzie Df(a) jest pochodną Frecheta funkcjif dla x = a.
[edytuj] Przykład
Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej
wartości .
- Rozważamy funkcję Problem polega na
obliczeniu przybliżonej wartości funkcji f(25).
- Jest
- Korzystając z aproksymacji liniowej
- Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…