Ciąg arytmetyczny

Z Wikipedii

Ciąg arytmetyczny – ciąg liczbowy w którym każdy jego wyraz można otrzymać z wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego przez dodanie zawsze tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu. Zwykle mówiąc o ciągu arytmetycznym zakładamy iż jego wyrazy są liczbami rzeczywistymi, choć sporadycznie rozważa się również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.

Ciąg arytmetyczny nazywamy też (już coraz rzadziej) postępem arytmetycznym.

Spis treści

1 Definicja i przykłady
2 Własności
- 2.1 Suma skończonego ciągu arytmetycznego
3 Przypisy
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja i przykłady

Ciąg liczbowy $(a n)$ nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby $r$ (nazywaną różnicą ciągu) zachodzi

$(\forall n\in\mathbb{N})( a_{n+1}=a_{n}+r)$ .

Równoważnie, $(a n)$ jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy gdy

a n + 1 - a n = a n + 2 - a n + 1

dla wszystkich naturalnych

n

Na przykład

ciąg: 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny (jego różnicą jest 2), natomiast
ciąg: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (3-1=2, lecz 4-3=1).
Każdy ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym (różnica takiego ciągu wynosi 0).

[edytuj] Własności

Ciąg arytmetyczny o różnicy $r$ ma następujący wzór ogólny:

a n = a 1 + (n - 1) r

Zatem, aby wyznaczyć pierwszy wyraz $a 1$ ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę $r$ wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotoniczmym - rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ona ujemna, lub stałym, gdy jest ona równa 0.

[edytuj] Suma skończonego ciągu arytmetycznego

Suma $S n$ początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i n-tego pomnożona przez liczbę wyrazów n:

$S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{a_1 + a_n}{2}n =\frac{2a_1 + (n-1)r}{2}n$

Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber Abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia wg której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu artmetycznego w wieku siedmiu lat^[1].

Dowód wzoru

Wyraźmy sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego na dwa sposoby:

$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$ oraz

$S_n=(a_1+(n-1)d)+(a_1+(n-2)d)+\dots\dots+(a_1+2d)+(a_1+d)+a_1$

(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).

Dodajmy powyższe dwa równania stronami otrzymując

$2S_n=\Big(a_1+(a_1+(n-1)d)\Big)+\Big((a_1+d)+(a_1+(n-2)d)\Big)+\dots\dots+\Big((a_1+(n-3)d)+(a_1+2d)\Big)+\Big((a_1+(n-2)d)+(a_1+d)\Big)+\Big((a_1+(n-1)d)+a_1\Big)$

a stąd

$2S_n=\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\dots\dots+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)$

2 S n = n (2 a 1 + (n - 1) d)

Pamiętając, że $a n = a 1 + (n - 1) d$ , powyższą równość możemy przekształcić do:

$S_n=\frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}$ .

Przypisy

↑ MacTutor podaje tę historię twierdząc iż chodziło o dodanie kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100, zobacz [1]. E.T. Bell w książce Men of Mathematics twierdzi że chodziło o bardziej skomplikowany przykład.