Ciąg uogólniony
Z Wikipedii
Ciąg uogólniony - w teorii mnogości, rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech X będzie niepustym zbiorem, zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy zbiór [1], gdzie xσ jest elementem zbioru X przyporządkowanym elementowi .
[edytuj] Punkty skupienia i granica
Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Punkt nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego , jeśli
gdzie U oznacza otoczenie punktu x.
Punkt nazywamy granicą ciągu uogólnionego jeśli
gdzie U, tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu x. Mówimy wtedy również, że S jest zbieżny do x.
Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu S oznaczamy albo .
[edytuj] Subtelniejsze ciągi uogólnione
Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.
Ciąg uogólniony nazywamy subtelniejszym od ciągu , jeśli istnieje funkcja , spełniająca warunki:
- .
- .
[edytuj] Własności
- Jeśli punkt x jest punktem skupienia ciągu uogólnionego subtelniejszego od S, to x jest punktem skupienia S.
- Jeśli punkt x jest granicą ciągu uogólnionego S, to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego .
- Jeśli punkt x jest punktem skupienia ciągu uogólnionego S, to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego , subteleniejszego od S.
[edytuj] Literatura
- Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.
[edytuj] Zobacz też
Przypisy
- ↑ Czasem piszemy także .