Ciało zbiorów
Z Wikipedii
Ciało zbiorów to rodzaj obiektów w matematyce studiowanych głównie w teorii mnogości, teorii algebr Boole'a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech X będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina podzbiorów przestrzeni X jest ciałem zbiorów na X (albo algebrą zbiorów na X), jeśli są spełnione następujące warunki:
- zbiór pusty należy do ,
- dopełnienie zbioru należącego do należy do ,
- suma dwóch zbiorów należących do należy do .
[edytuj] Proste przykłady i podstawowe własności
Niech X będzie niepustym zbiorem.
Następujące rodziny podzbiorów X są ciałami na X:
- rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X,
- rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru X,
- rodzina gdzie A jest dowolnym podzbiorem X,
- każde σ-ciało podzbiorów X.
Zachodzą następujące twierdzenia:
- Każde ciało na X jest zamknięte na dowolne skończone przekroje i sumy.
- Przekrój dowolnej rodziny ciał na X jest znów ciałem zbiorów.
- Dla dowolnej rodziny podzbiorów zbioru X istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem generowanym przez tę rodzinę.
- Przypuśćmy, że jest ciałem podzbiorów X, a jest ideałem podzbiorów X. Wówczas ciało generowane przez to rodzina
- gdzie oznacza operację różnicy symetrycznej.
[edytuj] Przykłady ciał rozważanych w matematyce
- Jeśli (X,τ) jest przestrzenią topologiczną, to rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów X tworzy ciało. (Ciała tego typu są rozważane głównie dla przestrzeni zerowymiarowych.)
- Przypuśćmy że jest porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla takich że x < * y określamy . (Jak zwykle, element jest traktowany jako element większy niż wszystkie punkty z X.) Niech będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych podzbiorów X które mogą być przedstawione jako dla pewnych elementów spełniających nierówności , . Wówczas jest ciałem podzbiorów X; jest to ciało generowane przez przedziały [x,y) dla .
[edytuj] Algebry Boole'a
- Jeśli jest ciałem zbiorów na X, to jest algebrą Boole'a.
- Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole'a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na (tzw przestrzeni Stone'a algebry ). Twierdzenie Stone'a nie może być udowodnione przy użyciu tylko ZF - wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole'a do ideałów pierwszych).