Element minimalny i maksymalny
Z Wikipedii
Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym 
nazywamy każdy taki element x, że nie ma w P elementów mniejszych od niego. Symbolicznie:
.
Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym nazywamy każdy taki element x, że nie ma w P elementów większych od niego. Symbolicznie:
.
[edytuj] Uwagi
- W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
- Element minimalny nie musi być najmniejszym. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element maksymalny, to nie musi on być elementem największym.
Te same własności ma element maksymalny.
[edytuj] Przykłady
- Rozważmy zbiór N∪{-1}, gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, a relacja ~ częściowego porządku określona jest następująco:
-
dla 
-1 jest jedynym elementem maksymalnym tej relacji lecz nie jest elementem największym.
- W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład:
- "Białka" < "Dunajec" < "Wisła"
- "Poprad" < "Dunajec" < "Wisła"
- "Noteć" < "Warta" < "Odra"
Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne).
