Element objętości

Z Wikipedii

Elementem objętości rozmaitośći M w punkcie nazywamy k-tensor antysymetryczny taki że dla każdej bazy przestrzeni T_xM zachodzi: , gdzie jest objętością równoległościanu rozpiętego na wektorach

Spis treści 1 Równoważna definicja 2 Problem 3 Zastosowanie 4 Źródła 5 Zobacz też

[edytuj] Równoważna definicja

Elementem objętości M w punkcie nazywamy taki że , gdzie jest dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną przestrzeni stycznej T_xM. (Przykładem takiej bazy jest baza standardowa przestrzeni )

[edytuj] Problem

Definicje te są równoważne, ale w pierwszej nie widać od razu, czy jest to w ogóle tensor, natomiast trzeba wykazać, że druga definicja nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej (jednoznaczność określenia). Definicje te wzajemnie uzupełniają swoje wady.

[edytuj] Zastosowanie

Objętość rozmaitości M określa się jako , o ile ta całka istnieje co zachodzi z pewnością dla rozmaitości zwartej. "Objętość" zazwyczaj nazywa się długością lub polem powierzchni dla odpowiednio jedno- lub dwuwymiarowej rozmaitości, a dM standardowo oznacza się przez ds (element długości) lub przez dA (element pola powierzchni).

[edytuj] Źródła

• Górniewicz, Ingarden "Analiza matematyczna dla fizyków II", wyd. drugie, Toruń 2000
• M.Spivak "Analiza na rozmaitościach" PWN Warszawa, 1977

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki