Funkcja multiplikatywna
Z Wikipedii
W teorii liczb funkcję arytmetyczną f określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy multiplikatywną, jeżeli dla wszystkich względnie pierwszych liczb m, n spełniony jest warunek
Jeżeli warunek ten spełniony jest dla wszystkich liczb naturalnych m i n, to funkcję f nazywamy całkowicie multiplikatywną.
[edytuj] Przykłady
Niektóre spośród najważniejszych funkcji multiplikatywnych w teorii liczb to:
- φ(n): funkcja φ, rząd grupy
- τ(n): funkcja tau, liczba dodatnich dzielników liczby n
- σ(n): funkcja σ, suma dodatnich dzielników liczby n
- μ(n): funkcja Möbiusa
- Id(n): funkcja tożsamościowa
- 1(n): funkcja stale równa 1
- ε(n): element neutralny splotu Dirichleta, ε(1) = 1, ε(n) = 0 dla n > 1
[edytuj] Struktura algebraiczna
Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę przemienną z operacją splotu Dirichleta. Oto niektóre spośród tożsamości wiążących wymienione wyżej funkcje multiplikatywne poprzez operację splotu:
- μ * 1 = ε
- φ * 1 = Id
- 1 * 1 = τ
- Id * 1 = σ
- φ * τ = σ
- σ * μ = Id
[edytuj] Zobacz też
- Splot Dirichleta,
- Produkt eulerowski.