Grupa abelowa wolna
Z Wikipedii
Grupa abelowa wolna – grupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną. Grupa abelowa jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa o współczynnikach całkowitych elementów tego zbioru. Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowych, zbiór taki nazywany jest bazą. Z punktu widzenia teorii modułów, grupy abelowe wolne są modułami wolnymi nad pierścieniem liczb całkowitych.
[edytuj] Własności
- Grupy abelowe wolne są algebrami wolnymi, a więc w szczególności każde dwie bazy abelowej grupy wolnej są równoliczne. Moc dowolnej bazy grupy abelowej wolnej nazywamy jej rangą.
- Dla każdej liczby kardynalnej κ istnieje grupa abelowa wolna rangi κ.
- Niech G będzie grupą abelową wolną oraz A grupą abelową. Jeżeli istnieje epimorfizm
, to istnieje podgrupa F grupy A izomorficzna z grupą G taka, że 
. - Każda grupa abelowa A jest obrazem homomorficznym pewnej grupy abelowej wolnej. Ponadto, jeśli grupa A ma zbiór generatorów mocy κ, to jest ona obrazem homomorficznym grupy abelowej wolnej rangi κ. Twierdzenie to pociąga wniosek, że każda grupa abelowa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy abelowej wolnej.
- Podgrupa grupy abelowej wolnej jest wolną grupą abelową.
[edytuj] Przykłady
- Grupa
liczb całkowitych z dodawaniem. Bazami tej grupy są zbiory {1},{ − 1}. - Suma prosta
, na mocy indukcji matematycznej przykład ten uogólnia się na skończoną rodzinę grup izomorficznych z 
. - Grupa addytywna pierścienia wielomianów o współczynnikach całkowitych. Bazą tej grupy jest np. zbiór
. - Zewnętrzna suma prosta dowolnej rodziny grup abelowych wolnych jest grupą abelową wolną.
- Grupa Baera-Speckera, czyli iloczyn przeliczalnie wielu egzemplarzy nie jest abelową grupą wolną[1], jednak każda jej przeliczalna podgrupa jest[2].
