Hipoteza continuum
Z Wikipedii
Hipoteza continuum to hipoteza postawiona przez Georga Cantora dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.
Cantor - posługując się rozumowaniem przekątniowym - wykazał, że moce powyższych zbiorów nie są równe. Pojawiło się w takim razie pytanie: czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych i mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych? Okazało się, że odpowiedź na tak naturalne pytanie nie jest oczywista. Cantor wysunął hipotezę - zwaną właśnie hipotezą continuum - że takiego zbioru nie ma. Fakt, że nie potrafił tej hipotezy udowodnić, sprawił, że Cantor zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii mnogości.
W roku 1940 ukazała się praca K. Gödla, w której autor udowodnił, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami teorii mnogości, a w 1963 roku P.J. Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od aksjomatów teorii mnogości - czyli możemy do matematyki dołączyć zarówno zdanie mówiące, że hipoteza continuum jest prawdziwa, jak i jego negację, i w żadnym z tych wypadków nie otrzymamy sprzeczności.
Uogólniona hipoteza continuum mówi, że dla żadnego zbioru nieskończonego A nie istnieje zbiór B, którego moc byłaby większa od mocy zbioru A, ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego A.
