Iloczyn nieskończony

Z Wikipedii

Iloczyn nieskończony - pojęcie analogiczne szeregowi; iloczyn nieskończenie wielu liczb (rzeczywistych lub zespolonych).

Spis treści

1 Ustalenia wstępne
2 Związek z szeregami
- 2.1 Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego
3 Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone
4 Źródła

[edytuj] Ustalenia wstępne

Jeżeli $p_1, p_2, \ldots, p_n, \ldots$ jest ciągiem liczb, to liczby $P_1=p_1, P_2=p_1p_2, \ldots, P_n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_n$ nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol

$\prod_{n=1}^\infty p_n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_n\ldots$

nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu $p n$ , natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych

$\lim_{n\to\infty}P_n=\prod_{n=1}^\infty p_n$

(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.

Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym - w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.

[edytuj] Związek z szeregami

Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu $p n$ nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu. Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu $p n$ jest zbieżny, to

$\lim_{n\to\infty}p_n=1$ .

[edytuj] Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego

Iloczyn nieskończony ciągu $p n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

$\sum_{n=1}^{\infty} \ln p_n$ .

Jeżeli warunek ten jest spełniony i $L$ jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi $e L$ .

Można podać też inne kryteria zbieżności:

Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ wyrazy ciągu liczbowego $a n$ są stałego znaku, to iloczyn nieskończony

$\prod_{n=1}^\infty (1+a_n)$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ .

Jeżeli zbieżne są szeregi: $\sum_{n=1}^\infty a_n$ i $\sum_{n=1}^\infty a^2_n$ , to zbieżny jest iloczyn $\prod_{n=1}^\infty (1+a_n)$ .

[edytuj] Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone

$\sin z = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right)$ - szczególny przypadek - iloczyn Wallisa

$\cos z = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{4z^2}{\pi^2 (2n-1)^2}\right)$

$\sinh z = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cosh z = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{4z^2}{\pi^2 (2n-1)^2}\right)$

$\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1 - p_n^{-z})}$ - Funkcja ζ Riemanna,

p n

oznacza ciąg liczb pierwszych

$\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots$

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ 4 \cdot n^2 }{ 4 \cdot n^2 - 1 } \right)$

[edytuj] Źródła

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.

Kategoria: Analiza matematyczna

We provide Linux to the World

Iloczyn nieskończony

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Ustalenia wstępne

[edytuj] Związek z szeregami

[edytuj] Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego

[edytuj] Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone

[edytuj] Źródła

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach