Linia geodezyjna
Z Wikipedii
Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjna – krzywa w przestrzeni metrycznej zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi dostatecznie bliskimi[1] swoimi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej krzywiźnie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.
Spis treści |
[edytuj] Geodezyjne na rozmaitościach topologicznych
[edytuj] Krzywizna
Należy odróżnić trzy różne pojęcia krzywizny, używane w tej sekcji:
- krzywizna rozmaitości topologicznej, na której rozpatrujemy geodezyjne – np. krzywizna sfery zanurzonej w przestrzeni euklidesowej
- krzywizna geodezyjna – krzywizna linii na rozmaitości, rozpatrywana z punktu widzenia geometrii (zwykle nieeuklidesowej) obowiązującej na tej rozmaitości. Np. brzegi kół wielkich sfery mają zerową krzywiznę geodezyjną.
- krzywizna linii rozpatrywana z punktu widzenia przestrzeni w której rozmaitość jest zanurzona. Np. brzegi kół wielkich mają niezerową krzywiznę w przestrzeni euklidesowej, w której zanurzona jest ich sfera.
[edytuj] Własności linii geodezyjnych
W szczególnym przypadku przestrzeni metrycznej będącej rozmaitością topologiczną geodezyjna jest krzywą, dla której krzywizna geodezyjna w każdym jej punkcie jest równa zeru.
Ze wszystkich krzywych leżących na rozmaitości topologicznej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej i mających wspólną styczną w danym punkcie rozmaitości, krzywa geodezyjna ma najmniejszą krzywiznę (w sensie 3) w każdym swoim punkcie.
W przypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie (w sensie 1), geodezyjne są z punktu widzenia geometrii euklidesowej krzywymi nie będącymi prostą (mają niezerową krzywiznę w sensie 3), np. na sferze są to okręgi kół wielkich. Na powierzchni bocznej walca geodezyjnymi są linie śrubowe oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.
Z punktu widzenia obowiązującej w danej rozmaitości geometrii absolutnej (na ogół geometrii nieeuklidesowej) krzywe geodezyjne są odpowiednikami prostych, zwykle spełniającymi te same aksjomaty, co proste w geometrii euklidesowej za wyjątkiem postulatu równoległości (piątego aksjomatu Euklidesa).
[edytuj] Czasoprzestrzeń
Czasoprzestrzeń w OTW jest szczególnym przypadkiem rozmaitości topologicznej. Linie najkrótsze xλ(s) łączące dwa punkty w zakrzywionej czasoprzestrzeni spełniają równanie:
gdzie jest symbolem Christoffela:
Równanie to wynika z ekstremum funkcjonału
który jest proporcjonalny do długości łuku wzdłuż linii geodezyjnej.
Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego z
równanie linii geodezyjnej
Wynika stąd ruch po prostej. Dla przykładu na sferze S² (2–wymiarowej (y1)2 + (y2)2 + (y3)2 = r2) wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferyczne y1 = rsin(θ)sin(φ),y2 = rsin(θ)cos(φ),y3 = rcos(θ), wtedy xi = {θ,φ} (i=1, 2). Element długości
- ds2 = dl2 = (dy1)2 + (dy2)2 + (dy3)2 + = gi,jdxidxj = r2dθ2 + r2sin2(θ)dφ2.
Tensor metryczny wyraża się wówczas wzorem:
Łatwo policzyć wszystkie składowe symboli Christoffela i rozwiązać równanie linii geodezyjnej. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.
W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne tensor metryczny ma postać
Metryka ta daje np.
W polu tym potencjał grawitacyjny jest równy
gdzie dla rozwiązania Karla Schwarzschilda (czarna dziura)
Interwał czasoprzestrzenny ds definiuje czas własny ds = cdτ. W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, dτ = dt i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona, gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona
cząstki w polu grawitacyjnym.
Ruch cząstki nie zależy od jej masy, a tylko od geometrii czasoprzestrzeni.