Macierz Hadamarda

Z Wikipedii

Macierz Hadamarda to macierz kwadratowa, której elementami są wartości ±1 czyli (+1 lub -1) oraz której kolumny są parami ortogonalne. Nazwa macierzy pochodzi od nazwiska matematyka francuskiego Jacques'a Hadamarda.

Macierz Hadamarda zwykle oznacza się symbolem H z indeksem np. H₈.

[edytuj] Przykłady:

$H_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} ,\ H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

$H_8 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \end{bmatrix}$

$H_{12} = \begin{bmatrix} ++++++&-+++++\\ +++--+&+-+--+\\ ++++--&++-+--\\ +-+++-&+-+-+-\\ +-++++&+--+-+\\ ++--++&++--+-\\ & \\ -+++++&------\\ +-+--+&---++-\\ ++-+--&----++\\ +-+-+-&-+---+\\ +--+-+&-++---\\ ++--+-&--++--\\ \end{bmatrix}$

W powyższej macierzy $+\;$ oznacza liczbę $1\;$ natomiast $-\;$ liczbę $-1.\;$

$\vdots$

Macierz Hadamarda wymiaru 2n można uzyskać z macierzy Hadamarda wymiaru n za pomocą wzoru:

$H_{2n} = \begin{bmatrix} H_{n} & H_{n} \\ H_{n} & -H_{n} \end{bmatrix}$

Macierze H₂.H₄ H₈ zostały skonstruowane powyższą metodą natomiast macierz .H₁₂ nie (nie ma macierzy Hadamarda rzędu 6).

[edytuj] Właściwości macierzy Hadamarda:

$H_n H^T_n = n I_n$ gdzie $I_n\;$ jest macierzą jednostkową rzędu n.
Macierz pozostaje macierzą Hadamarda po pomnożeniu dowolnego wiersza lub kolumny przez $-1.\;$
Macierz transponowana do macierzy Hadamarda jest macierzą Hadamarda.
Macierz Hadamarda jest macierzą symetryczną i macierzą ortogonalną

[edytuj] Literatura:

J. Hadamard, Résolution d'une question relative aux déterminants, Bull. Sci. Math. 2, 240-246, (1893).

J. J. Sylvester, Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign-Successions, and Tesselated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton's Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers, London Edinburgh and Dublin, Philos. Mag. and J. Sci. 34, 461-475, (1867).