Morfizm uniwersalny

Z Wikipedii

Spis treści 1 Definicja i proste własności morfizmu uniwersalnego 2 Uniwersalność iloczynu prostego i kompozycji morfizmów 3 Uniwersalne elementy monoidu 4 Morfizmy uniwersalne w innych kategoriach 5 Przypisy

[edytuj] Definicja i proste własności morfizmu uniwersalnego

Morfizm w kategorii C nazywamy uniwersalnym  ^[1], gdy dla dowolnego morfizmu , w tejże kategorii C, istnieje obiekt P oraz morfizm taki, że:

Obiekt X nazywa się stabilnym (uogólnienie przestrzeni topologicznej, mającej własność punktu stałego) gdy identyczność jest morfizmem uniwersalnym.

• Jeżeli morfizm jest uniwersalny, to g też jest morfizmem uniwersalnym.
• Jeżeli f : X → Y jest morfizmem uniwersalnym, to Y jest obiektem stabilnym.
• Jeżeli f : X → Y jest morfizmem stabilnym oraz r : Y → Z jest retrakcją, to jest morfizmem stabilnym.
• Jeżeli Y jest obiektem stabilnym oraz r : Y → Z jest retrakcją, to Z jest obiektem stabilnym.

Morfizm, który jest uniwersalny w kategorii dualnej do danej, nazywa się morfizmem kouniwersalnym.

[edytuj] Uniwersalność iloczynu prostego i kompozycji morfizmów

Następujące twierdzenie było opublikowane w Fundamenta Mathematicae w przypadku topologicznym ^[2] (choć znane jego autorowi w ogólnym), a następnie przedstawione na posiedzeniu Wiedeńskiego Towarzystwa Matematycznego w styczniu, 1969 roku, w postaci ogólnej (kategoryjnej), jak niżej ^[3]:

Twierdzenie Niech C będzie kategorią. Niech f _k : X _k-1 → X _k będą morfizmami w C  dla k=1,...,n  (n – liczba naturalna),  takimi że:

• istnieją iloczyny proste     oraz   ;

• iloczyn prosty morfizmów:     jest morfizmem uniwersalnym.

Wtedy kompozycja     jest morfizmem uniwersalnym.

Dowód Niech π _i : X → X _i oraz μ _j : Y → X _j będą kanonicznymi rzutami dla i = 0 ... n-1 oraz j = 1 ... n. Morfizm u spełnia równości:

•     dla   k = 1,...,n.

Niech g : X ₀ → X _n będzie dowolnym morfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden morfizm w : X → Y taki, że:

•     dla   k = 1,...,n-1;
• .

Istnieje więc pewien obiekt  S  oraz morfizm  s : S → X   taki, że:

Zatem:

czyli

dla  k = 1,...,n-1,   oraz

czyli:

Powyższe n równości po słowie "czyli" (dwukrotnym) dają indukcyjnie równości:

dla  k=1,...,n-1,  oraz ostatecznie:

Tak więc dla morfizmu  otrzymaliśmy:

Koniec dowodu.

Powyższe twierdzenie było stosowane w topologii w przeciwną stronę: gdy kompozycja ciągu odwzorowań nie jest uniwersalna, to iloczyn prosty (kartezjański) tych odwzorowań nie jest uniwersalny. W ten sposób przykłady odwzorowań uniwersalnych o nieuniwersalnej kompozycji dały także przykłady na niezachowanie uniwersalności przez iloczyn prosty (kartezjański). Istnieją takie przykłady już dla odwzorowań wielościanów 2-wymiarowych.

[edytuj] Uniwersalne elementy monoidu

Monoid (M, *, e) można interpretopwać jako kategorię, której jedynym obiektem jest M, morfizmami są elementy zbioru M, a kompozycja morfizmów to po prostu mnożenie *. Wtedy jedność e jest morfizmem identycznościowym: e = i_M. Tak więc elementem uniwersalnym monoidu nazywamy element u, który w tej kategorii-monoidzie jest morfizmem uniwersalnym, czyli spełnia warunek:

• dla dowolnego x \in M istnieje p \in M takie, że:

x * p = u * p

Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia elementu uniwersalnego w monoidzie M jest jego stabilność, czyli uniwersalność jedności e.

Ralph McKenzie udowodnił, że iloczyn dwóch uniwersalnych elementów monoidu nie musi być uniwersalny.^[4]

[edytuj] Morfizmy uniwersalne w innych kategoriach

Uwagę morfizmom uniwersalnym poświęcono dotąd niemal wyłącznie w topologii (wciąż niewiele, około 20-30 publikacji, kilkunastu autorów – bodajże nie więcej, do roku 2007), gdzie występują pod nazwą funkcja uniwersalna lub odwzorowanie uniwersalne   ^[5].

Funkcja ciągła f : X → Y (gdzie X, więc Y też, jest przestrzenią niepustą) nazywa się uniwersalną, gdy jest morfizmem uniwersalnym w kategorii wszystkich niepustych przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych.

Z pierwszego fragmentu powyżej widać, że teoria funkcji uniwersalnych zawiera koncepcyjnie teorię własności punktu stałego (a więc ma potencjał do zastosowań w analizie, zwłaszcza w równaniach). Na dodatek, zawiera ona także topologiczną teorię wymiaru (lwią część), łącząc obie te teorie poprzez przenikanie się metod oraz wyniki, w których występują pojęcia obu tych klasycznych teorii jednocześnie (w tym samym twierdzeniu, nawet gdy samo pojęcie funkcji uniwersalnej w sformułowaniu wyniku nie występuje). Mają też funkcje uniwersalne potencjał w homotopijnej teorii rozmaitości.

Ponieważ algebry Banacha są dualnym uogólnieniem zwartych przestrzeni topologicznych, to w kategorii (niezerowych) algebr Banacha naturalnym jest skupić się na homomorfizmach kouniwersalnych (raczej niż uniwersalnych). Analogiem przestrzeni zwartej X w kategorii algebr Banacha jest algebra funkcji ciągłych, zespolonych,  C(X).

Przypisy