Najmniejsza wspólna wielokrotność

Z Wikipedii

Zasugerowano, aby artykuł wspólna wielokrotność zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja)

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych dodatnich a₁, a₂,... ,a_n - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a₁,...,a_n, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a₁,...,a_n).

Ogólniej, najmniejszą wspólną wielokrotność można określić w dowolnym pierścieniu całkowitym.

[edytuj] Właściwości NWW

• zmiana kolejności argumentów NWW nie zmienia jej wartości
• jeżeli największy wspólny dzielnik każdej pary z ciągu liczb wynosi 1, to najmniejszą ich wspólną wielokrotnością jest ich iloczyn

• NWW należy do domkniętego przedziału od największej z liczb do ich iloczynu

• sprowadzenia obliczenia NWW zbioru liczb do wyznaczenia NWW pary liczb

• związane z NWD i prawdziwe dla pary liczb - dla więcej niż dwóch liczb analogiczna zależność jest na ogół nieprawdziwa

Stosując ostatnią właściwość można sprowadzić obliczenie NWW do obliczenia NWD, który z kolei można znaleźć na przykład korzystając z algorytmu Euklidesa lub dla niewielkich liczb za pomocą poniższego prostego sposobu.

[edytuj] Prosty (szkolny) sposób wyznaczenia NWW

Dokonujemy w słupku rozkładu liczb, dla których szukamy NWW, na czynniki pierwsze rozpoczynając od czynnika 2 przez sprawdzenie, czy dana liczba dzieli się na konkretny czynnik bez reszty. Jeśli dzieli się, to pod daną liczbą wpisujemy iloraz, jeśli nie, to sprawdzamy kolejne czynniki pierwsze jako dzielniki. Dalej postępujemy analogicznie dopóki nie otrzymamy ilorazu równego 1. Następnie wyliczamy iloczyn wszystkich czynników pierwszych wszystkich liczb, ale tak, że dany czynnik pierwszy w iloczynie występuje tyle razy ile razy występował w rozkładzie, w którym pojawił się najwięcej razy.

42|2
21|7
 3|3
 1|
 

56|2
28|2
14|2
 7|7
 1|

Czynnik 2 wystąpił raz w pierwszym rozkładzie i trzy razy w drugim, więc w iloczynie występuje trzy razy, czynnik 3 wystąpił raz w pierwszym rozkładzie i zero razy w drugim, więc w iloczynie występuje raz, natomiast czynnik 7 wystąpił jeden raz w pierwszym i drugim rozkładzie, więc w iloczynie występuje też raz.

192|2
 96|2
 48|2
 24|2
 12|2
  6|2
  3|3
  1|

348| 2
174| 2
 87| 3
 29|29
  1|
 
 
 

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki