Nierówność Cauchy'ego o średnich
Z Wikipedii
Nierówność Cauchy'ego o średnich dla liczb dodatnich a1, a2, ..., an stwierdza, że ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1, a2, ..., an jest nierosnący. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy'ego, francuskiego matematyka.
Oznacza to, że
Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a1, a2, ..., an są równe.
Pierwsza z nierówności zachodzi również dla liczb ujemnych.
Nierówność Cauchy'ego o średnich jest szczególnym przypadkiem nierówności o średniej uogólnionej.
Można też rozważać ważoną wersję tej nierówności:
dla i
lub całkową:
- .
dla f(x) całkowalnej i dodatniej w [a,b].
Spis treści |
[edytuj] Dowody
Nierówność Cauchy'ego o średnich jest szczególnym przypadkiem nierówności o średniej potęgowej, więc dowód nierówności między średnimi potęgowymi jest jednocześnie dowodem nierówności Cauchy'ego, ale można przeprowadzić również osobne dowody, mniej lub bardziej zbliżone do dowodu nierówności o średniej potęgowej, dla poszczególnych nierówności zawartych w nierówności Cauchy'ego.
[edytuj] Średnia arytmetyczna i geometryczna
[edytuj] Dowód przy użyciu nierówności o ciągach jednomonotonicznych
Niniejszy dowód korzysta z nierówności o ciągach jednomonotonicznych. Weźmy dowolny ciąg liczb rzeczywistych dodatnich: . Możemy założyć bez straty ogólności, że jest on uporządkowany nierosnąco, ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, ciag ten jest wobec tego monotoniczny, a w szczególności jest jednomonotoniczny sam ze sobą. Następnie mnożąc kolejne elementy tego ciągu 'po przekątnej' i operację tę powtarzając n razy, jak na przykładzie dla n = 3 (mnożymy wyrazy tego samego koloru):
po dodaniu otrzymujemy:
zgodnie z nierównością o ciągach jednomonotonicznych:
co po podzieleniu obustronnie przez n daje żądaną nierówność:
[edytuj] Dowód przy użyciu nierówności Jensena
Funkcja logx jest wklęsła w przedziale . Z nierówności Jensena dla funkcji wklęsłej i otrzymujemy, że dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi
Stąd:
Funkcja log jest rosnąca, więc jest to równoważne:
Co kończy dowód.
[edytuj] Dowód przy użyciu nierówności Muirheada
Biorąc ciągi i z nierówności Muirheada otrzymujemy natychmiast:
czyli
- .
[edytuj] Średnia geometryczna i harmoniczna
Zgodnie z nierównością między średnimi arytmetyczną i geometryczną:
Gdzie xi są dodatnie (z czego wynika, że ich odwrotności są dodatnie). Funkcja , f(x) = x − 1 jest funkcją malejącą, więc po nałożeniu jej obustronnie na powyższą nierówność otrzymujemy:
Co kończy dowód.
[edytuj] Średnia arytmetyczna i kwadratowa
Dowód korzysta z nierówności o ciągach jednomonotonicznych. Weźmy nierosnący ciąg liczb rzeczywistych dodatnich: a1,a2,...,an. Weźmy sumę:
Zgodnie z nierównością o ciągach jednomonotonicznych jest to największa suma, jaką możemy uzyskać poprzez mnożenie wyrazów podanego ciągu. Po pomnożeniu jej przez n otrzymujemy:
co zgodnie z nierównością jest nie mniejsze niż suma dowolnych n sum powstałych w wyniku podobnego mnożenia. Łatwo zauważyć, że iloczyn: (a1 + a2 + ... + an)2 jest sumą dokładnie n takich sum, zatem:
dzielimy obustronnie przez n2
wyciągamy obustronnie pierwiastek kwadratowy:
Co kończy dowód.