Operator zwarty
Z Wikipedii
Operator zwarty (pełnociągły) - operator taki, że obraz zbioru ograniczonego jest warunkowo zwarty, tzn. domknięcie obrazu jest zbiorem zwartym. Operatory zwarte można rozważać w przypadku ogólnych przestrzeni liniowo-topologicznych czy metrycznych jednak najczęściej bada się operatory zwarte działające na przestrzeniach Banacha.
[edytuj] Definicja dla przestrzeni metrycznych
Niech X,Y będą przestrzeniami metrycznymi. Operator nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ograniczonego ciągu punktów przestrzeni X istnieje podciąg ciąg ma podciąg zbieżny.
[edytuj] Definicja dla przestrzeni Banacha
Niech X,Y będą przestrzeniami Banacha. Operator liniowy i ciągły nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ograniczonego ciągu punktów przestrzeni X ciąg ma podciąg zbieżny.
Równoważnie, operator jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy domknięcie obrazu kuli jednostkowej jest zbiorem zwartym. Od tego miejsca, w dalszej części artykułu obowiązuje właśnie ta definicja.
[edytuj] Zobacz też
- twierdzenie spektralne
- zbiór zwarty, przestrzeń zwarta