Pierścień ideałów głównych
Z Wikipedii
Pierścień ideałów głównych (także pierścien główny) - pierścień całkowity, którego każdy ideał jest ideałem głównym.
[edytuj] Własności
- Każdy pierścień główny jest pierścieniem noetherowskim ponieważ każdy jego ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, a zatem skończony.
- Każdy pierścień główny jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.
- Każde dwa elementy a,b pierścienia ideałów głównych P mają największy wspólny dzielnik , który daje się zapisać w postaci ax + by dla pewnych .
- W pierścieniu ideałów głównych P element jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, (q) jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy P / (q) jest ciałem.
[edytuj] Przykłady
Pierścieniami głównymi są:
- pierścień liczb całkowitych,
- pierścień wielomianów o współczynnikach w dowolnym ciele,
- dowolne ciało,
- każdy pierścień Euklidesa.
[edytuj] Bibliografia
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.