Pierwiastek algebraiczny

Z Wikipedii

Pierwiastek algebraiczny – odpowiednik pierwiastka arytmetycznego dla liczb zespolonych.

[edytuj] Definicja

Pierwiastkiem algebraicznym stopnia z liczby nazywamy każdą liczbę spełniającą równość

yⁿ = x.

Dla każdej niezerowej liczby zespolonej istnieje dokładnie n jej różnych pierwiastków algebraicznych. Ważne zastosowania mają pierwiastki z jedynki.

Warto zauważyć, że pierwiastek algebraiczny nie jest działaniem (nie jest nawet funkcją). Do jego oznaczenia korzysta się z tego samego symbolu co dla pierwiastka arytmetycznego, czyli .

[edytuj] Wyznaczanie

Pierwiastki liczby zespolonej można łatwo wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:

,

dla .

Warto pamiętać, że pierwiastki obliczane dla k oraz k + nq dla są sobie równe.

[edytuj] Przykłady

Obliczmy pierwiastki algebraiczne drugiego stopnia z liczby zespolonej z = − 4, przekształćmy ją uprzednio do postaci trygonometrycznej:

oraz , stąd | z | = 4. Jest , mamy więc z = 4(cosπ + isinπ).

Istnieją wyłącznie dwa różne pierwiastki, pierwiastek z₀ obliczymy dla k = 0, pierwiastek z₁ dla k = − 1:

,

.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• pierwiastek arytmetyczny.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.