Pierwiastnik

Z Wikipedii

Pierwiastnik względem ustalonych liczb to w algebrze wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech postawowych działań arytmetycznych, potęg o wykładnikach naturalnych (skrócony zapis wielokrotnego mnożenia) oraz pierwiastków stopni naturalnych.

Pierwiastnikiem względem liczb $x, y$ oraz $π$ jest np. $\sqrt[5]{x+\sqrt{\pi y+x}}$ .

[edytuj] Znaczenie i użycie

Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (m.in. Abela i Wantzela) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferro i Tartaglię a znane jako wzory Cardano dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrari dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (tzn. poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni 5 i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania – patrz Twierdzenie Abela-Ruffiniego.

[edytuj] Definicja formalna

Powiemy, że liczbę zespoloną $z$ można przedstawić za pomocą pierwiastników^[1], jeśli można znaleźć liczby zespolone $z_1,\ldots,z_n$ oraz liczby naturalne $k_1,\ldots,k_n$ takie, że kładąc

$K_0={\mathbb Q}$ (ciało liczb wymiernych),

K i = K i - 1 (z i)

(rozszerzenie ciała

K i - 1

o element

z i

) dla $i=1,\ldots, n$

będziemy mieli

$z_i^{k_i}\in K_{i-1}$ dla wszystkich $i=1,\ldots,n$ oraz $z\in K_n$ .

Liczbę $k=\max\{k_1,\ldots,k_n\}$ nazywamy stopniem powyższego przedstawienia.

Jeśli powyżej zastąpimy ${\mathbb Q}$ przez pewne ciało $K\subseteq {\mathbb C}$ to otrzymamy definicję , gdy liczba $z$ jest przedstawialna w pierwiastnikach nad ciałem $K$ . Jeśli $K={\mathbb Q}(a_1,\ldots,a_m)$ , to możemy powiedzieć że $z$ jest przedstawialna w pierwiastnikach względem $a_1,\ldots,a_m$ .

[edytuj] Przykładowe twierdzenia

Każdy z pierwiastków z jedności stopnia m, tzn każdy pierwiastek równania $z m = 1$ daje się przedstawić w pierwiastnikach stopnia mniejszego niż m.
Jeśli $p,q\in {\mathbb Q}$ oraz równanie

z 3 + p z + q = 0

nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych.

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ Sierpiński, Wacław: Zasady algebry wyższej, "Monografie Matematyczne" Tom 11, Rozdział 13. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki

Kategoria: Algebra

We provide Linux to the World

Pierwiastnik

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Znaczenie i użycie

[edytuj] Definicja formalna

[edytuj] Przykładowe twierdzenia

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj