Podpierścień

Z Wikipedii

Podzbiór S pierścienia P nazywamy jego podpierścieniem, jeżeli jest on pierścieniem ze względu na te same działania, co pierścień P.

[edytuj] Definicja formalna

Niech:

• - pierścień,
• .

S jest podpierścieniem pierścienia P wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

• ,
• Pierścieniem jest struktura , gdzie oznaczają obcięcia działań do zbioru S (czyli: oraz dla dowolnych ).

Jeżeli P jest ciałem oraz S jest ciałem, to S nazywamy podciałem ciała P.

[edytuj] Własności

jest podpierścieniem pierścienia P wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:

• ,
• .

Zachodzą ponadto następujące twierdzenia:

• Podpierścień pierścienia przemiennego jest pierścieniem przemiennym.
• Podpierścień pierścienia bez dzielników zera jest pierścieniem bez dzielników zera.
• Element neutralny dodawania podpierścienia S pierścienia P jest równy elementowi neutralnemu dodawania pierścienia P.
• Dowolny ideał J pierścienia P jest podpierścieniem P.

[edytuj] Przykłady

• Pierścień liczb całkowitych Z jest podpierścieniem ciała liczb wymiernych Q. Ciało Q jest podciałem ciała liczb rzeczywistych R.
• Pierścień liczb całkowitych parzystych Z_p jest podpierścieniem pierścienia liczb całkowitych Z. Zauważmy, że Z jest pierścieniem z jedynką, natomiast Z_p jedynki nie posiada.